$hc / (\lambda kT) \gg 1$ のとき \begin{align} e^\frac{hc}{\lambda kT} \gg 1 \end{align} であるから、 \begin{align} \rho (\lambda, T) &\simeq \frac{8 \pi hc}{\lambda^5} e^{- \frac{hc}{\lambda kT}} \end{align} と表せる。
$hc / (\lambda kT) \ll 1$ のとき \begin{align} e^\frac{hc}{\lambda kT} \simeq 1 + \frac{hc}{\lambda kT} \end{align} であるから、 \begin{align} \rho (\lambda, T) &\simeq \frac{8 \pi hc}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\frac{hc}{\lambda kT}} \\ &= \frac{8 \pi kT}{\lambda^4} \end{align} と表せる。
\begin{align} T &= \frac{hc}{5 \lambda_\mathrm{max} k} \\ &= 5.88 \times 10^3 \ \mathrm{K} \end{align}
まず、 \begin{align} C_{V, \mathrm{m}} &= \left( \frac{\partial U_\mathrm{m}}{\partial T} \right)_V \\ &= 3N_A h \nu \frac{ - e^\frac{h \nu}{kT} \cdot \left( - \frac{h \nu}{kT^2} \right)} {\left( e^\frac{h \nu}{kT} - 1 \right)^2} \\ &= \frac{3N_A h^2 \nu^2}{kT^2} \frac{e^\frac{h \nu}{kT}}{\left( e^\frac{h \nu}{kT} - 1 \right)^2} \end{align} である。
(i) $kT \gg h \nu$ のとき、 \begin{align} e^\frac{h \nu}{kT} \simeq 1 + \frac{h \nu}{kT} \end{align} であるから、 \begin{align} C_{V, \mathrm{m}} &\simeq \frac{3N_A h^2 \nu^2}{kT^2} \frac{e^\frac{h \nu}{kT}}{\left( \frac{h \nu}{kT} \right)^2} \\ &= 3N_Ak e^\frac{h \nu}{kT} \end{align} と近似できる。
(ii) $kT \ll h \nu$ のとき、 \begin{align} e^\frac{h \nu}{kT} - 1 \simeq e^\frac{h \nu}{kT} \end{align} であるから、 \begin{align} C_{V, \mathrm{m}} &\simeq \frac{3N_A h^2 \nu^2}{kT^2} e^{- \frac{h \nu}{kT}} \end{align} と近似できる。