$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} x - \lambda & 1 & 0 \\ 1 & x - \lambda & 1 \\ 0 & 1 & x - \lambda \end{pmatrix} \\ &= (x - \lambda)^3 - 2(x - \lambda) \\ &= - (\lambda - x) (\lambda - (x - \sqrt{2})) (\lambda - (x + \sqrt{2})) \\ \therefore \ \ \lambda &= x , x \pm \sqrt{2} \end{align} である。 固有値 $x$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $u+w=0, v=0$ を得る。 固有値 $x-\sqrt{2}$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $u=w, v=-\sqrt{2}u$ を得る。 固有値 $x+\sqrt{2}$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & -\sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & -\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $u=w, v=\sqrt{2}u$ を得る。 よって、 \begin{align} T = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 & 1 \\ 0 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 \begin{align} T^\mathrm{T} A T = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x-\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & x+\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align} が成り立つ。
任意の $y \in \mathbb{R}^3$ について $y^\mathrm{T} A y \geq 0$ が成り立つための必要十分条件は、 $A$ の固有値がすべて $0$ 以上であることである。 よって、求める範囲は $x - \sqrt{2} \geq 0$ すなわち $x \geq \sqrt{2}$ である。
\begin{align} A_m &= \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{align} であり、 \begin{align} \left\{ A_m \right\}^6 &= T \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \sqrt{2} \end{pmatrix}^6 T^\mathrm{T} \\ &= T \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 512 \end{pmatrix} T^\mathrm{T} \\ &= \begin{pmatrix} 132 & 128 \sqrt{2} & 124 \\ 128 \sqrt{2} & 256 & 128 \sqrt{2} \\ 124 & 128 \sqrt{2} & 132 \end{pmatrix} \end{align} である。