まず、 $y'+y=0$ の一般解は \begin{align} y = C e^{-x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。 次に、与えられた微分方程式に $y = Ax+B$ ( $A,B$ は $x$ によらない定数 ) を代入すると、 $Ax+(A+B)=x$ したがって $A=1,B=-1$ を得るので、 \begin{align} y = x - 1 \end{align} は与えられた微分方程式の特殊解である。 よって、与えられた微分方程式の一般解は \begin{align} y = C e^{-x} + x - 1 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。 与えられた初期条件を満たすのは $C=2$ のときであるから、求める特殊解は \begin{align} y = 2 e^{-x} + x - 1 \end{align} である。
与えられた微分方程式に $y = e^{\lambda x}$ ( $\lambda$ は $x$ によらない定数 ) を代入すると、 \begin{align} \lambda^2 - \lambda + 2 = 0 \\ \therefore \ \ \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} \end{align} を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は \begin{align} y = e^\frac{x}{2} \left( A \sin \frac{\sqrt{7}}{2} x + B \cos \frac{\sqrt{7}}{2} x \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。
まず、 $y''+3y'+2y=0$ に $y = e^{\lambda x}$ ( $\lambda$ は $x$ によらない定数 ) を代入すると \begin{align} \lambda^2 + 3 \lambda + 2 &= 0 \\ (\lambda - 1)(\lambda - 2) &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= -1, -2 \end{align} を得るので、この微分方程式の一般解は \begin{align} y = A e^{-x} + B e^{-2x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。 次に、与えられた微分方程式に $y = Cxe^{-x}$ ( $C$ は $x$ によらない定数 ) を代入すると、 $C=1$ を得るので、 \begin{align} y = x e^{-x} \end{align} は与えられた微分方程式の特殊解である。 よって、与えられた微分方程式の一般解は \begin{align} y = A e^{-x} + B e^{-2x} + x e^{-x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{align} である。