\begin{align} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} &= e^x \cos y - e^x \cos y \\ &= 0 \end{align} なので、 $u(x,y)$ は調和関数である。
(Eq.1) の複素関数における Cauchy-Riemann の関係式は \begin{align} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{\partial v}{\partial y} \tag{a} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &= - \frac{\partial v}{\partial x} \tag{b} \end{align} である。
まず、(a) より \begin{align} \frac{\partial v}{\partial y} &= \frac{\partial u}{\partial x} \\ &= e^x \cos y \\ \therefore \ \ v(x,y) &= e^x \sin y + g(x) \ \ \ \ \ \ \ \ ( g(x) \text{ は } x \text{ の実数値関数 } ) \end{align} であり、さらに (b) より、 \begin{align} - e^x \sin y &= - e^x \sin y - \frac{dg(x)}{dx} \\ \therefore \ \ \frac{dg(x)}{dx} &= 0 \\ \therefore \ \ g(x) &= C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は実数定数} ) \end{align} を得る。 よって、求める正則関数は \begin{align} f(z) &= e^x \cos y + i \left( e^x \sin y + C \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は実数定数} ) \end{align} である。
\begin{align} \int_C f(z) dz &= \int_C \frac{dz}{(z-(\sqrt{3}-i))(z-(-\sqrt{3}-i))} \\ &= 2 \pi i \lim_{z \to \sqrt{3}-i} \frac{1}{z-(-\sqrt{3}-i)} \\ &= \frac{\pi i}{\sqrt{3}} \end{align} ここで、 \begin{align} \left| \sqrt{3} - i - 1 \right|^2 &= \left( \sqrt{3} - 1 - i \right) \left( \sqrt{3} - 1 + i \right) \\ &= 5 - 2 \sqrt{3} \\ &\lt 2 \\ \left| - \sqrt{3} - i - 1 \right|^2 &= \left( - \sqrt{3} - 1 - i \right) \left( - \sqrt{3} - 1 + i \right) \\ &= 5 + 2 \sqrt{3} \\ &\gt 2 \end{align} であるから、 $f(z)$ の極 $z=\sqrt{3}-i$ は $C$ の内部にあり、 $f(z)$ の極 $z=-\sqrt{3}-i$ は $C$ の外部にあることを使った。