\begin{align} E(X_i) &= \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty x \exp \left\{ - \frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2 \right\} dx \\ &\ \ \ \ + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty x \exp \left\{ - \frac{1}{2 \sigma^2} (x - c \mu)^2 \right\} dx \\ &= \frac{1}{2} \mu + \frac{1}{2} c \mu \\ &= \frac{1+c}{2} \mu \end{align} であり、 \begin{align} E(\bar{X}) &= \frac{1+c}{2} \mu \end{align} であるから、 $\frac{2}{1+c} \bar{X}$ は $\mu$ の不偏推定量である。
\begin{align} E(X_i^2) &= \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty x^2 \exp \left\{ - \frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2 \right\} dx \\ &\ \ \ \ + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{- \infty}^\infty x^2 \exp \left\{ - \frac{1}{2 \sigma^2} (x - c \mu)^2 \right\} dx \\ &= \frac{1}{2} ( \sigma^2 + \mu^2 ) + \frac{1}{2} ( \sigma^2 + c^2 \mu^2 ) \\ &= \sigma^2 + \frac{1+c^2}{2} \mu^2 \\ V(X_i) &= E(X_i^2) - E(X_i)^2 \\ &= \sigma^2 + \frac{1+c^2}{2} \mu^2 - \left( \frac{1+c}{2} \mu \right)^2 \\ &= \sigma^2 + \frac{(1-c)^2}{4} \mu^2 \end{align} であるから、 \begin{align} V(\bar{X}) &= \frac{1}{n} \left( \sigma^2 + \frac{(1-c)^2}{4} \mu^2 \right) \end{align} を得る。
(2) より、 $V(\bar{X})$ が最小になるのは、 $c=1$ のときである。