\begin{align} E(T) &= a E( \bar{X} ) + b E( \bar{Y} ) + c E( \bar{Z} ) \\ &= (a+b+c) \mu \end{align} であるから、 $T$ が $\mu$ の不偏推定量となるための必要十分条件は、 \begin{align} a+b+c=1 \end{align} である。
\begin{align} V(T) &= a^2 V( \bar{X} ) + b^2 V( \bar{Y} ) + c^2 V( \bar{Z} ) \\ &= a^2 \cdot \frac{\sigma^2}{l} + b^2 \cdot \frac{\sigma^2}{m} + c^2 \cdot \frac{\sigma^2}{n} \\ &= \left( \frac{a^2}{l} + \frac{b^2}{m} + \frac{c^2}{n} \right) \sigma^2 \end{align} そこで、ラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を導入して、 \begin{align} f(a,b,c) = \frac{a^2}{l} + \frac{b^2}{m} + \frac{c^2}{n} - \lambda (a+b+c) \end{align} とおくと、 \begin{align} \frac{\partial f}{\partial a} &= \frac{2a}{l} - \lambda \\ \frac{\partial f}{\partial b} &= \frac{2b}{m} - \lambda \\ \frac{\partial f}{\partial c} &= \frac{2c}{n} - \lambda \end{align} よって、 $V(T)$ を最小にする $a,b,c$ は \begin{align} a &= \frac{l}{l+m+n} \\ b &= \frac{m}{l+m+n} \\ c &= \frac{n}{l+m+n} \end{align} である。