断熱壁で覆われているので \begin{align} Q=0 \end{align} であり、また、気体は仕事をしないので、熱力学第1法則より \begin{align} \Delta U=0 \end{align} がわかる。
\begin{align} 0 &= dU \\ &= \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V dT + \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T dV \\ &= C_{\mathrm{v,m}} dT + \left( T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V - P \right) dV \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (2) } ) \\ &= C_{\mathrm{v,m}} dT + \left( T \cdot \frac{N_1R}{V-bN_1} - \left( \frac{N_1RT}{V-bN_1} - \frac{aN_1^2}{V^2} \right) \right) dV \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (1) } ) \\ &= C_{\mathrm{v,m}} dT + \frac{aN_1^2}{V^2} dV \tag{a} \end{align} から、 \begin{align} \Delta T &= - \frac{aN_1^2}{C_\mathrm{v,m}} \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V^2} \\ &= \frac{aN_1^2}{C_\mathrm{v,m}} \left[ \frac{1}{V} \right]_{V_1}^{V_2} \\ &= \frac{aN_1^2}{C_\mathrm{v,m}} \left( \frac{1}{V_2} - \frac{1}{V_1} \right) \\ &= - \frac{aN_1^2}{C_\mathrm{v,m}} \left( \frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2} \right) \tag{b} \end{align} がわかる。
\begin{align} \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_U = \frac{P}{T} \gt 0 \end{align} であり、体積は増加し、内部エネルギーは変化しないので、 エントロピーは増加することがわかる。 よって、不可逆過程である。
\begin{align} \Delta S &= \int_{V_1}^{V_2} \frac{P}{T} dV \\ &= \int_{V_1}^{V_2} \left( \frac{N_1R}{V-bN_1} - \frac{aN_1^2}{TV^2} \right) dV \\ &= N_1R \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V-bN_1} + C_{\mathrm{v,m}} \int_{T_1}^{T_1 + \Delta T} \frac{dT}{T} \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ 式 (a) } ) \\ &= N_1R \ln \frac{V_2-bN_1}{V_1-bN_1} + C_{\mathrm{v,m}} \ln \frac{T_1 + \Delta T}{T_1} \\ &= N_1R \ln \frac{V_2-bN_1}{V_1-bN_1} + C_{\mathrm{v,m}} \ln \left( 1 - \frac{aN_1^2}{C_\mathrm{v,m} T_1} \left( \frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2} \right) \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ 式 (b) } ) \end{align}
理想気体の場合は、式 (b) で $a=0$ として、 \begin{align} \Delta T' = 0 \end{align} である。 理想気体では、分子間の相互作用がないので、体積が変化しても、 1分子あたりの運動エネルギーは変わらず、温度変化はない。 van der Waals 気体では、分子間に引力が働くとしているので、 体積が増加して分子間の平均距離が長くなると、 1分子あたりの運動エネルギーは減少し、温度は下がる。