\begin{align} \left\{ \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x) \right\} \Psi(x) &= E \Psi(x) \end{align}
式 (1) は $- \alpha \leq x \leq \alpha$ において \begin{align} - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) &= E \Psi(x) \\ \therefore \ \ \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) &= - \frac{2mE}{\hbar^2} \Psi(x) \end{align} となるので、 \begin{align} \Psi(x) &= A \exp \left( i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} x \right) + B \exp \left( - i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} x \right) \end{align} を得る。
\begin{align} \Psi(\alpha) = \Psi(- \alpha) = 0 \end{align}
式 (4), (3) より \begin{align} 0 &= \Psi(\alpha) = A \exp \left( i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) + B \exp \left( -i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) ,\\ 0 &= \Psi(-\alpha) = A \exp \left( -i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) + B \exp \left( i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) \end{align} が成り立ち、これは \begin{align} \begin{pmatrix} \exp \left( i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) & \exp \left( -i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) \\ \exp \left( -i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) & \exp \left( i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} と書ける。 これを満たす $A=B=0$ 以外の $A,B$ が存在するための条件は \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} \exp \left( i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) & \exp \left( -i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) \\ \exp \left( -i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) & \exp \left( i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) \end{pmatrix} \\ &= \exp \left( 2i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) - \exp \left( -2i \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) \\ &= 2i \sin \left( 2 \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha \right) \end{align} なので、 $N$ を正の整数として \begin{align} 2 \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \alpha = \pi N \\ \therefore \ \ E = \frac{\pi^2 \hbar^2 N^2}{8m \alpha^2} \end{align} を得る。
$N=1$ のとき 式 (5) は \begin{align} E = \frac{\pi^2 \hbar^2}{8m \alpha^2} \end{align} となるから、式 (3) は \begin{align} \Psi(x) &= A \exp \left( i \frac{\pi}{2 \alpha} x \right) + B \exp \left( - i \frac{\pi}{2 \alpha} x \right) \end{align} となる。 さらに、境界条件 (4) から $A=B$ がわかるので、 \begin{align} \Psi(x) &= A \exp \left( i \frac{\pi}{2 \alpha} x \right) + A \exp \left( - i \frac{\pi}{2 \alpha} x \right) \\ &= 2A \cos \left( \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) \end{align} となる。 最後に、規格化条件 \begin{align} 1 &= \int_{- \infty}^\infty \left| \Psi(x) \right|^2 dx \\ &= 4 |A|^2 \int_{- \alpha}^\alpha \cos^2 \left( \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) dx \\ &= 4 |A|^2 \cdot \frac{2 \alpha}{\pi} \int_{- \pi/2}^{\pi/2} \cos^2 \left( y \right) dy \ \ \ \ \ \ \ \ \left( y = \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) \\ &= 4 |A|^2 \cdot \frac{2 \alpha}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \\ &= 4 |A|^2 \alpha \end{align} から \begin{align} A = \frac{1}{2 \sqrt{\alpha}} \end{align} とすればよいことがわかり、 \begin{align} \Psi(x) &= \frac{1}{\sqrt{\alpha}} \cos \left( \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) \end{align} がわかる。
\begin{align} \langle x \rangle &= \frac{1}{\alpha} \int_{- \alpha}^\alpha x \cos^2 \left( \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) dx \\ &= 0 \end{align}
\begin{align} \langle x^2 \rangle &= \frac{1}{\alpha} \int_{- \alpha}^\alpha x^2 \cos^2 \left( \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) dx \\ &= \frac{1}{\alpha} \left( \frac{2 \alpha}{\pi} \right)^3 \int_{- \pi/2}^{\pi/2} x^2 \cos^2 y \ dy \ \ \ \ \ \ \ \ \left( y = \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) \\ &= \frac{1}{\alpha} \left( \frac{2 \alpha}{\pi} \right)^3 \frac{\pi}{24} \left( \pi^2 - 6 \right) \\ &= \frac{\pi^2 - 6}{3 \pi^2} \alpha^2 \end{align}
\begin{align} \langle p \rangle &= - \frac{i \hbar}{\alpha} \int_{- \alpha}^\alpha \cos \left( \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) \frac{d}{dx} \cos \left( \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) dx \\ &= \frac{i \pi \hbar}{2 \alpha^2} \int_{- \alpha}^\alpha \cos \left( \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) \sin \left( \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) dx \\ &= \frac{i \pi \hbar}{4 \alpha^2} \int_{- \alpha}^\alpha \sin \left( \frac{\pi x}{\alpha} \right) dx \\ &= 0 \end{align}
\begin{align} \langle p^2 \rangle &= - \frac{\hbar^2}{\alpha} \int_{- \alpha}^\alpha \cos \left( \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) \frac{d^2}{dx^2} \cos \left( \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) dx \\ &= \frac{\pi^2 \hbar^2}{4 \alpha^3} \int_{- \alpha}^\alpha \cos^2 \left( \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) dx \\ &= \frac{\pi^2 \hbar^2}{4 \alpha^3} \cdot \frac{2 \alpha}{\pi} \int_{- \pi/2}^{\pi/2} \cos^2 \left( y \right) dy \ \ \ \ \ \ \ \ \left( y = \frac{\pi x}{2 \alpha} \right) \\ &= \frac{\pi^2 \hbar^2}{4 \alpha^3} \cdot \frac{2 \alpha}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{\pi^2 \hbar^2}{4 \alpha^2} \end{align}
\begin{align} \Delta x \cdot \Delta p &= \sqrt{\frac{\pi^2 - 6}{3}} \frac{\alpha}{\pi} \cdot \frac{\pi \hbar}{2 \alpha} \\ &= \sqrt{\frac{\pi^2 - 6}{3}} \frac{\hbar}{2} \end{align}
\begin{align} \Delta E &\simeq \frac{\left( \Delta p \right)^2}{2m} \\ &= \frac{1}{2m} \frac{\pi^2 \hbar^2}{4 \alpha^2} \\ &= \frac{\pi^2 \hbar^2}{8m \alpha^2} \\ &= E_1 \end{align}