与えられた微分方程式は次のように変形できる： \begin{align} \frac{d}{dx} \left( f^2 - 2 \frac{df}{dx} \right) = 0 \end{align} よって、積分定数 $A$ を使って次のように書ける： \begin{align} f^2 - 2 \frac{df}{dx} = A \end{align} $x \to \infty$ あるいは $x \to - \infty$ での条件より $A=1$ がわかる： \begin{align} f^2 - 2 \frac{df}{dx} = 1 \end{align} これを次のように変形できる： \begin{align} \left( \frac{1}{f-1} - \frac{1}{f+1} \right) df = dx \end{align} よって、積分定数 $B$ を使って次のように書ける： \begin{align} \frac{f-1}{f+1} &= B e^x \\ \therefore \ \ f(x) &= \frac{1+Be^x}{1-Be^x} \end{align} $f(0)=0$ より $B=-1$ がわかり、 \begin{align} f(x) &= \frac{1-e^x}{1+e^x} \end{align} を得る。 これは $x \to \pm \infty$ における条件も満たす。