固有値は $0.6, 1$ で、 \begin{align} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align} がそれぞれに属する固有ベクトルである。
[1-1] で得た固有ベクトルを用いて、 \begin{align} V = \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix} \sqrt{5} & 3 \\ - \sqrt{5} & 1 \end{bmatrix} \end{align} とおくと、 \begin{align} \det V &= \frac{1}{10} \cdot 4 \sqrt{5} = \frac{2}{\sqrt{5}} \\ V^{-1} &= \frac{\sqrt{5}}{2} \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ \sqrt{5} & \sqrt{5} \end{bmatrix} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ \sqrt{5} & \sqrt{5} \end{bmatrix} \end{align} であり、 \begin{align} V^{-1} T V &= \begin{bmatrix} 0.6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align} となる。
\begin{align} T^k &= \left( V \begin{bmatrix} 0.6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} V^{-1} \right)^k \\ &= V \begin{bmatrix} 0.6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^k V^{-1} \\ &= V \begin{bmatrix} 0.6^k & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} V^{-1} \\ &= \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 0.6^k + 3 & -3 \cdot 0.6^k + 3 \\ -0.6^k + 1 & 3 \cdot 0.6^k + 1 \end{bmatrix} \end{align}
\begin{align} x_{n+1} &= 0.9 x_n + 0.3 y_n \\ y_{n+1} &= 0.1 x_n + 0.7 y_n \end{align} であるから、 \begin{align} \begin{bmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} x_n \\ y_n \end{bmatrix} \end{align} と書ける。
[1-4] より、 \begin{align} \begin{bmatrix} x_n \\ y_n \end{bmatrix} = T^n \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} \end{align} であるから、 \begin{align} \lim_{n \to \infty} \begin{bmatrix} x_n \\ y_n \end{bmatrix} &= \lim_{n \to \infty} T^n \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 3 (x_0+y_0) \\ x_0+y_0 \end{bmatrix} \end{align} となる。 すなわち、地区Aの人口の割合は 3/4 になる。