\begin{align} \mathcal{F} \left\{ \frac{\partial}{\partial x} y(x,t) \right\} &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty \frac{\partial y(x,t)}{\partial x} e^{-ikx} dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \left[ y(x,t) e^{-ikx} \right]_{- \infty}^\infty + \frac{ik}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty y(x,t) e^{-ikx} dx \\ &= ik \mathcal{F} \left\{ y(x,t) \right\} \\ &= ik Y(k,t) \end{align}
[2-1] と同様にして、 \begin{align} \mathcal{F} \left\{ \frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) \right\} &= ik \mathcal{F} \left\{ \frac{\partial}{\partial x} y(x,t) \right\} \\ &= -k^2 \mathcal{F} \left\{ y(x,t) \right\} \\ &= -k^2 Y(k,t) \end{align} であるから、式(2-1)より、 \begin{align} \frac{\partial Y(k,t)}{\partial t} &= ikC Y(k,t) - k^2 D Y(k,t) \\ &= \left( ikC-k^2D \right) Y(k,t) \end{align} を得る。
[2-2] で得た方程式より、 \begin{align} Y(k,t) = Y(k,0) e^{(ikC-k^2D)t} \end{align} である。 さらに、 \begin{align} Y(k,0) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty y(x,0) e^{-ikx} dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty \delta (x) e^{-ikx} dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \end{align} であるから、 \begin{align} Y(k,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{(ikC-k^2D)t} \end{align} を得る。