\begin{align} p_x(t) \left( 1 - \lambda \Delta t \right) \end{align}
\begin{align} p_x( t + \Delta t ) = p_x(t) \left( 1 - \lambda \Delta t \right) + p_{x-1}(t) \cdot \lambda \Delta t \end{align} より、 \begin{align} \frac{p_x( t + \Delta t ) - p_x(t)}{\Delta t} = - \lambda p_x(t) + \lambda p_{x-1}(t) \end{align} であるから、 $\Delta t \to 0$ として、式(3-1) を得る。
式(3-1) で $x=0$ とすると、 \begin{align} \frac{d}{dt} p_0(t) &= - \lambda p_0(t) + \lambda p_{-1}(t) \\ &= - \lambda p_0(t) \end{align} であるから、 \begin{align} p_0(t) &= p_0(0) e^{- \lambda t} \\ &= e^{- \lambda t} \end{align} を得る。
式(3-1) で $x=k$ とすると、 \begin{align} \frac{d}{dt} p_k(t) &= - \lambda p_k(t) + \lambda p_{k-1}(t) \\ &= - \lambda p_k(t) + \frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!} e^{- \lambda t} \end{align} となる。 これの解は、 $A(t)$ を適当な関数として、 \begin{align} p_k(t) = A(t) e^{- \lambda t} \end{align} と書けるが、これを上の微分方程式に代入して、整理すると、 \begin{align} \frac{d}{dt} A(t) = \frac{\lambda^k t^{k-1}}{(k-1)!} \end{align} よって、 \begin{align} A(t) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} + C \end{align} である（ここで $C$ は積分定数である）。 よって、 \begin{align} p_k(t) = \left( \frac{(\lambda t)^k}{k!} + C \right) e^{- \lambda t} \end{align} となるが、 $p_k(0)=0$ なので、 $C=0$ であり、式(3-2)が成り立つことがわかる。