$y = \log x$ とおくと、 $x = \exp(y), dx = \exp(y) dy$ である。
期待値を $E$ , 分散を $V$ で表して、次のように計算する： \begin{align} E(X) &= \int_0^\infty x f(x) dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^\infty \exp \left[ - \frac{1}{2} \left( \log x - \mu \right)^2 \right] dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty \exp \left[ - \frac{1}{2} \left( y - \mu \right)^2 \right] \exp(y) dy \\ &= \frac{\exp \left( \mu + \frac{1}{2} \right) }{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty \exp \left[ - \frac{1}{2} \left\{ y - (\mu + 1) \right\}^2 \right] dy \\ &= \exp \left( \mu + \frac{1}{2} \right) \\ E \left( X^2 \right) &= \int_0^\infty x^2 f(x) dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^\infty x \exp \left[ - \frac{1}{2} \left( \log x - \mu \right)^2 \right] dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty \exp \left[ - \frac{1}{2} \left( y - \mu \right)^2 \right] \exp(2y) dy \\ &= \frac{\exp \left( 2 \mu + 2 \right) }{\sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^\infty \exp \left[ - \frac{1}{2} \left\{ y - (\mu + 2) \right\}^2 \right] dy \\ &= \exp \left( 2 \mu + 2 \right) \\ V(X) &= E \left( X^2 \right) - E(X)^2 \\ &= \exp \left( 2 \mu + 2 \right) - \exp \left( 2 \mu + 1 \right) \\ &= \exp \left( 2 \mu + 1 \right) (e-1) \end{align}
\begin{align} \frac{d}{d \mu} \log f(x;\mu) &= \frac{d}{d \mu} \log \left[ \frac{1}{\mu} \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) \right] \\ &= \frac{d}{d \mu} \left( - \log \mu - \frac{x}{\mu} \right) \\ &= - \frac{1}{\mu} + \frac{x}{\mu^2} \\ &= \frac{\mu - x}{\mu^2} \end{align} であるから、 \begin{align} \hat{\mu} = X \end{align}
期待値を $E$ を表すと、 \begin{align} E(X) &= \int_0^\infty x f(x; \mu) dx \\ &= \frac{1}{\mu} \int_0^\infty x \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) dx \\ &= - \left[ x \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) \right]_0^\infty + \int_0^\infty x \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) dx \\ &= - \mu \left[ \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) \right]_0^\infty \\ &= \mu \end{align} であるから、 $E(\hat{\mu}) = \mu$ であり、 $\hat{\mu}$ は $\mu$ の不偏推定量である。
$\alpha$ と $c$ は次のように関係付けられる： \begin{align} \alpha &= \int_c^\infty f(x; \mu_0) dx \\ &= \frac{1}{\mu_0} \int_c^\infty \exp \left( - \frac{x}{\mu_0} \right) dx \\ &= - \left[ \exp \left( - \frac{x}{\mu_0} \right) \right]_c^\infty \\ &= \exp \left( - \frac{c}{\mu_0} \right) \\ \therefore \ \ c &= - \mu_0 \log \alpha \end{align}
まず、確率を $P$ で表すと、 \begin{align} P (a \leq X_i \leq b) &= \int_a^b f(x; 1) dx \\ &= \int_a^b \exp (-x) dx \\ &= - \left[ \exp (-x) \right]_a^b \\ &= \exp (-a) - \exp (-b) \end{align} である。
$U$ の確率密度関数 $f_U(u)$ を求めるために、次のように計算する： \begin{align} P (U \leq u) &= P(X_1 \leq u \text{ and } X_2 \leq u) + P(X_1 \leq u \lt X_2) + P(X_2 \leq u \lt X_1) \\ &= P(X_1 \leq u) P(X_2 \leq u) + P(X_1 \leq u) P(u \lt X_2) + P(X_2 \leq u) P(u \lt X_1) \\ &= \left( 1 - \exp (-u) \right) \left( 1 - \exp (-u) \right) + \left( 1 - \exp (-u) \right) \exp (-u) + \left( 1 - \exp (-u) \right) \exp (-u) \\ &= 1 - \exp (-2u) \\ \therefore \ \ f_U(u) &= \frac{d}{du} P (U \leq u) \\ &= \frac{d}{du} \left( 1 - \exp (-2u) \right) \\ &= 2 \exp (-2u) \end{align}
$V$ の確率密度関数 $f_V(v)$ を求めるために、次のように計算する： \begin{align} P (V \leq v) &= P(X_1 \leq v \text{ and } X_2 \leq v) \\ &= P(X_1 \leq v) P(X_2 \leq v) \\ &= \left( 1 - \exp (-v) \right)^2 \\ \therefore \ \ f_V(v) &= \frac{d}{dv} P (V \leq v) \\ &= \frac{d}{dv} \left( 1 - \exp (-v) \right)^2 \\ &= 2 \exp (-v) \left( 1 - \exp (-v) \right) \end{align}
$U,V$ の同時確率密度関数 $f(u,v)$ を求めるために、次の2通りを考える。
(i) $ v \lt u$ のとき、 \begin{align} P (U \leq u \text{ and } V \leq v) &= P (V \leq v) \\ &= \left( 1 - \exp (-v) \right)^2 \\ \therefore \ \ f(u,v) &= \frac{\partial}{\partial u} \frac{\partial}{\partial v} P (U \leq u \text{ and } V \leq v) \\ &= 0 . \end{align}
(ii) $ u \leq v$ のとき、 \begin{align} P (U \leq u \text{ and } V \leq v) &= P(X_1 \leq u \text{ and } X_2 \leq u) + P(X_1 \leq u \lt X_2 \leq v) + P(X_2 \leq u \lt X_1 \leq v) \\ &= P(X_1 \leq u) P(X_2 \leq u) + P(X_1 \leq u) P(u \lt X_2 \leq v) + P(X_2 \leq u) P(u \lt X_1 \leq v) \\ &= \left( 1 - \exp (-u) \right) \left( 1 - \exp (-u) \right) + \left( 1 - \exp (-u) \right) \left( \exp (-u) - \exp (-v) \right) + \left( 1 - \exp (-u) \right) \left( \exp (-u) - \exp (-v) \right) \\ &= \left( 1 - \exp (-u) \right) \left( 1 + \exp (-u) - 2 \exp (-v) \right) \\ \therefore \ \ f(u,v) &= \frac{\partial}{\partial u} \frac{\partial}{\partial v} P (U \leq u \text{ and } V \leq v) \\ &= 2 \exp(-(u+v)) . \end{align}