\begin{align} Z &= \sum_{n=0}^\infty \exp \left( - \frac{E_n}{kT} \right) \\ &= \exp \left( - \frac{h \nu}{2kT} \right) \sum_{n=0}^\infty \exp \left( - \frac{h \nu}{kT} n \right) \\ &= \frac{ \exp \left( - \frac{h \nu}{2kT} \right) }{ 1 - \exp \left( - \frac{h \nu}{kT} \right) } \\ &= \frac{1}{2 \sinh \left( \frac{h \nu}{2kT} \right)} \end{align}
\begin{align} \langle E \rangle &= \frac{1}{Z} \sum_{n=0}^\infty E_n \exp \left( - \frac{E_n}{kT} \right) \\ &= \frac{1}{2} h \nu + \frac{h \nu \exp \left( - \frac{h \nu}{2kT} \right)}{Z} \sum_{n=0}^\infty n \exp \left( - \frac{h \nu}{kT} n \right) \\ &= \frac{1}{2} h \nu + \frac{h \nu \exp \left( - \frac{h \nu}{2kT} \right)}{Z} \frac{\exp \left( - \frac{h \nu}{kT} \right)} {\left( 1 - \exp \left( - \frac{h \nu}{kT} \right) \right)^2} \\ &= \frac{1}{2} h \nu + \frac{h \nu}{\exp \left( \frac{h \nu}{kT} \right) -1} \end{align}
\begin{align} C &= \frac{d \langle E \rangle}{dT} \\ &= h \nu \cdot \frac{- \exp \left( \frac{h \nu}{kT} \right)} {\left( \exp \left( \frac{h \nu}{kT} \right) -1 \right)^2} \cdot \left( - \frac{h \nu}{kT^2} \right) \\ &= \frac{(h \nu)^2}{kT^2} \frac{\exp \left( \frac{h \nu}{kT} \right)} {\left( \exp \left( \frac{h \nu}{kT} \right) -1 \right)^2} \end{align}
$x = h \nu /kT$ とおくと、 \begin{align} C &= kx^2 \frac{\exp x}{\left( \exp x -1 \right)^2} \end{align} である。
低温 $kT \ll h \nu$ では $x \gg 1$ であるから、 \begin{align} \exp x - 1 \approx \exp x \end{align} よって、 \begin{align} C \approx kx^2 \exp (-x) \end{align} であり、 $x \to \infty$ では $C \to 0$ であることがわかる。
$x$ は (iv) と同じとする。
高温 $kT \gg h \nu$ では $x \ll 1$ であるから、 \begin{align} \exp x - 1 \approx x \end{align} よって、 \begin{align} C \approx k \exp x \end{align} であり、 $x \to 0$ では $C \to k$ であることがわかる。