\begin{align} \det A = 4 \cdot 7 - (-2) \cdot (-2) = 24 \end{align}
\begin{align} A^{-1} = \frac{1}{24} \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \end{align}
$A$ の固有値 $\lambda$ は次のように求められる： \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} 4 - \lambda & -2 \\ -2 & 7 - \lambda \end{pmatrix} = (4 - \lambda)(7 - \lambda) - 4 = (\lambda - 3)(\lambda - 8) \\ \therefore \ \ \lambda &= 3, 8 \end{align}
(i) 固有値 $\lambda = 3$ に属する固有ベクトルを求めるために、 次のようにおく： \begin{align} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align} これから $x=2y$ がわかるので、例えば、 \begin{align} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} が求める固有ベクトルである。
(ii) 固有値 $\lambda = 8$ に属する固有ベクトルを求めるために、 次のようにおく： \begin{align} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 8 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align} これから $2x=-y$ がわかるので、例えば、 \begin{align} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{align} が求める固有ベクトルである。
任意の実数 $x,y$ について次のように計算できる： \begin{align} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= 4x^2 - 4xy + 7y^2 \\ &= 4 \left( x - \frac{1}{2} y \right)^2 + 6y^2 . \end{align} これは $x=y=0$ のときを除いて正の数であるので、 $A$ は正定値行列である。
(3) で求めた固有ベクトルを使って、 \begin{align} V = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、その転置行列は、 \begin{align} V^T = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \end{align} となる。 これらを使って、次のように $A$ を対角化できる： \begin{align} V^T A V &= \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} . \end{align}
行列やベクトルのエルミート共役を $\dagger$ , 複素数の複素共役を $\ast$ で表す。
実対称行列 $A$ の固有値を $\alpha$ とし、 これに属する固有ベクトルを $x$ とする： \begin{align} A x = \alpha x \end{align} 両辺に左から $x^\dagger$ をかけると、次を得る： \begin{align} x^\dagger A x = \alpha x^\dagger x \end{align} これのエルミート共役をとり、 $A = A^\dagger$ を使うと、次を得る： \begin{align} x^\dagger A x = \alpha^\ast x^\dagger x \end{align} よって、次を得る： \begin{align} \alpha^\ast x^\dagger x = \alpha x^\dagger x \end{align} $x$ はゼロベクトルではなく $x^\dagger x \gt 0$ なので、 次を得る： \begin{align} \alpha^\ast = \alpha \end{align} すなわち、固有値 $\alpha$ は実数である。
実対称行列 $A$ の2つの相異なる固有値を $\alpha, \beta$ とし、 それぞれに属する固有ベクトルを $x, y$ とする： \begin{align} A x = \alpha x , \ \ A y = \beta y \end{align} 1番目の式の両辺に左から $y^\dagger$ をかけ、 2番目の式の両辺に左から $x^\dagger$ をかけると、 次のようになる： \begin{align} y^\dagger A x = \alpha y^\dagger x , \ \ x^\dagger A y = \beta x^\dagger y \end{align} これの2番目の式のエルミート共役をとって、 $A^\dagger = A, \beta^\ast = \beta$ を使うと、次のようになる： \begin{align} y^\dagger A x = \beta y^\dagger x \end{align} よって、次を得る： \begin{align} (\alpha - \beta) y^\dagger x = 0 \end{align} $ \alpha \ne \beta $ であるから、 $ y^\dagger x = 0 $ すなわち $x$ と $y$ は直交する。