まず、 $y=1/(1+\exp(-x))$ より、 $\exp(-x) = (1-y)/y$ である。 よって、 \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx} \frac{1}{1 + \exp(-x)} \\ &= \frac{\exp(-x)}{\left( 1 + \exp(-x) \right)^2} \\ &= y(1-y) \\ &= -y^2 + y \end{align} である。
$dy/dx$ を $x$ で表した式からわかるように、 任意の実数 $x$ について、 $dy/dx \gt 0$ である。 また、 \begin{align} \lim_{x \to -\infty} y = 0 , \ \ \lim_{x \to \infty} y = 1 \end{align} なので、 $y$ の値域は $(0,1)$ である。 さらに、 \begin{align} \frac{dy}{dx} &= - \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} \end{align} と書き換えられるので、 $dy/dx$ の値域は $(0,1/4]$ である。
まず、 \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx} \frac{\exp(x) - \exp(-x)}{\exp(x) + \exp(-x)} \\ &= \frac{4}{\left( \exp(x) + \exp(-x) \right)^2} \\ &= -y^2 + 1 \end{align} である。
$dy/dx$ を $x$ で表した式からわかるように、 任意の実数 $x$ について、 $dy/dx \gt 0$ である。 また、 \begin{align} \lim_{x \to -\infty} y = -1 , \ \ \lim_{x \to \infty} y = 1 \end{align} なので、 $y$ の値域は $(-1,1)$ である。 そこで、 $dy/dx$ を $y$ で表した式からわかるように、 $dy/dx$ の値域は $(0,1]$ である。
まず、条件 $x^2+y^2-1=$ より、 $x = \cos \theta, y = \sin \theta$ と表せる。 また、条件 $0 \leq x, y \leq 1$ は $0 \leq \theta \leq \pi/2$ に相当する。 $f(x,y)$ を $\theta$ で表した関数を $g(\theta)$ と書く： \begin{align} g(\theta) = \cos^3 \theta + 2 \sin^3 \theta \end{align} このとき、 \begin{align} \frac{dg(\theta)}{d \theta} = 3 \sin \theta \cos \theta (- \cos \theta + 2 \sin \theta) \end{align} なので、増減表は次のようになる （ $\alpha$ は $\tan \alpha = 1/2$ を満たす）： \begin{array} {c|ccccccc} \theta & \cdots & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \pi/2 & \cdots \\ \hline g'(\theta) & + & 0 & – & 0 & + & 0 & - \\ \hline g(\theta) & \nearrow & 1 & \searrow & 2/\sqrt{5} & \nearrow & 2 & \searrow \end{array} よって、求める極値は、極大値 $1,2$ と極小値 $2/\sqrt{5}$ である。