期待値を $\mathrm{E}$ で表すと、 \begin{align} \mathrm{E} \left( \sum_{i=1}^n w_i X_i \right) &= \sum_{i=1}^n w_i \mathrm{E} \left( X_i \right) \\ &= \mu \sum_{i=1}^n w_i \end{align} である。 求める必要十分条件は、これが（任意の $\mu$ について） $\mu$ に等しいことであるから、 \begin{align} \sum_{i=1}^n w_i = 1 \end{align} である。