\begin{align} L \left( \mu, \sigma^2 \right) &= \log \left( \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left( - \frac{\left( X_i - \mu \right)^2}{2 \sigma^2} \right) \right) \\ &= \log \left( \left( 2 \pi \sigma^2 \right)^{- \frac{n}{2}} \exp \left( - \sum_{i=1}^n \frac{\left( X_i - \mu \right)^2}{2 \sigma^2} \right) \right) \\ &= - \sum_{i=1}^n \frac{\left( X_i - \mu \right)^2}{2 \sigma^2} - \frac{n}{2} \log \left( 2 \pi \sigma^2 \right) \end{align}
分散を $\theta = \sigma^2$ とすると、 \begin{align} L &= - \frac{1}{2 \theta} \sum_{i=1}^n \left( X_i - \mu \right)^2 - \frac{n}{2} \log \left( 2 \pi \theta \right) \end{align} であり、 \begin{align} \frac{\partial L}{\partial \mu} &= \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n \left( X_i - \mu \right) \\ &= \frac{n}{\theta} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \mu \right) ,\\ \frac{\partial L}{\partial \theta} &= \frac{1}{2 \theta^2} \sum_{i=1}^n \left( X_i - \mu \right)^2 - \frac{n}{2 \theta} \\ &= \frac{n}{2 \theta^2} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( X_i - \mu \right)^2 - \theta \right) \end{align} なので、 $\mu, \theta=\sigma^2$ の最尤推定量として、 \begin{align} \hat{\mu} &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i ,\\ \hat{\theta} &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( X_i - \hat{\mu} \right)^2 \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( X_i - \frac{1}{n} \sum_{i=j}^n X_j \right)^2 \end{align} を得る。
（参考 : 小寺平治「明解演習 数理統計」 第6章 7.4 ）