$\mathrm{Ker}(f)$ を求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & a+1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 \begin{align} \alpha &= -a \gamma - (a+1) \delta , \\ \beta &= - \gamma - \delta \end{align} となるので、 \begin{align} u_1 = \begin{pmatrix} -a \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ u_2 = \begin{pmatrix} -(a+1) \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} は $\mathrm{Ker}(f)$ の基底であることがわかる。
また、 $\mathrm{Ker}(g)$ を求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 3-a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 \begin{align} \delta &= - \gamma , \\ \alpha &= 3 \beta + (3-a) \gamma \end{align} となるので、 \begin{align} v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 3-a \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} は $\mathrm{Ker}(g)$ の基底であることがわかる。
そこで、実数 $r,s,t$ について $ r u_1 = s v_1 + t v_2 $ が成り立つとすると $r=s=t=0$ を得るので、 $u_1 \notin \mathrm{Ker}(g)$ がわかる。 同様に、 $ r u_2 = s v_1 + t v_2 $ が成り立つとすると $r=s=t=0$ を得るので、 $u_2 \notin \mathrm{Ker}(g)$ もわかる。 よって、 \begin{align} \mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) \cap \mathrm{Ker}(g) \right) &= 0 , \\ \mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) + \mathrm{Ker}(g) \right) &= 4 \end{align} がわかる。