$\mathrm{Ker}(f)$ を求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & a+1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 \begin{align} \alpha &= -a \gamma - (a+1) \delta , \\ \beta &= - \gamma - \delta \end{align} となるので、 $\mathrm{dim} \ \mathrm{Ker} (f) = 2$ であり、 \begin{align} u_1 = \begin{pmatrix} -a \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ u_2 = \begin{pmatrix} -(a+1) \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} は $\mathrm{Ker}(f)$ の基底であることがわかる。
また、 $\mathrm{Ker}(g)$ を求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 3-a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 \begin{align} \delta &= - \gamma , \\ \alpha &= 3 \beta + (3-a) \gamma \end{align} となるので、 $\mathrm{dim} \ \mathrm{Ker} (g) = 2$ であり、 \begin{align} v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ v_2 = \begin{pmatrix} 3-a \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} は $\mathrm{Ker}(g)$ の基底であることがわかる。
$\mathrm{Ker}(f) + \mathrm{Ker}(g)$ の次元を求めるため、行列 \begin{align} \begin{pmatrix} u_1 & u_2 & v_1 & v_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -a & -a-1 & 3 & -a+3 \\ -1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align} を行基本変形すると、 \begin{align} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -a+2 \\ 0 & 0 & 1& 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align} とできるので、 \begin{align} \mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) + \mathrm{Ker}(g) \right) &= \begin{cases} 3 & (a=2) \\ 4 & (a \ne 2) \end{cases} \end{align} がわかり、さらに \begin{align} \mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) \cap \mathrm{Ker}(g) \right) &= \mathrm{dim} \ \mathrm{Ker}(f) + \mathrm{dim} \ \mathrm{Ker}(g) - \mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) + \mathrm{Ker}(g) \right) \\ &= \begin{cases} 1 & (a=2) \\ 0 & (a \ne 2) \end{cases} \end{align} がわかる。