(i) $A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \begin{vmatrix} a-1-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -a-\lambda & 1 \\ 2a & -2a & a+1-\lambda \end{vmatrix} \\ &= (a-1-\lambda) \begin{vmatrix} -a-\lambda & 1 \\ -2a & a+1-\lambda \end{vmatrix} \\ &= -(\lambda-a+1)(\lambda^2 - \lambda - a(a-1))) \\ &= -(\lambda-a+1)(\lambda - a)(\lambda + a - 1) \\ \therefore \ \ \lambda &= a-1, a, -a+1 \end{align} である。
(ii) $A$ を列基本変形すると、次のようにできる： \begin{align} \begin{pmatrix} a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a-1 & a+1 & a(a-1) \end{pmatrix} . \end{align} これを構成する3つの列ベクトルの1次独立性に注目すると、 $A$ のランクは、 $a=1$ のときは $1$ , $a=0$ のときは $2$ , その他のときは $3$ であることがわかる。