(i) $v \in V$ に対して \begin{align} w &= f^{n-m}(v) ,\\ u &= v - w \end{align} とおく。 $n \geq 2m$ なので、 \begin{align} w &= f^m \left( f^{n-2m} (v) \right) \end{align} と書け、 $f^{n-2m}(v) \in V$ なので $w \in \mathrm{Im}(f^m)$ である。 また、 \begin{align} f^m(u) &= f^m(v) - f^n(v) \\ &= 0 \end{align} なので、 $u \in \mathrm{Ker}(f^m)$ である。 したがって、任意の $v \in V$ に対して \begin{align} v = u + w \end{align} であるような $u \in \mathrm{Ker}(f^m), \ w \in \mathrm{Im}(f^m)$ が存在するので、 \begin{align} V \subset \mathrm{Ker}(f^m) + \mathrm{Im}(f^m) \ \ \ \ \left( = \left\{ u+w \mid u \in \mathrm{Ker}(f^m), w \in \mathrm{Im}(f^m) \right\} \right) \end{align} がわかる。
(ii) $ \mathrm{Ker}(f^m) \subset V, \ \mathrm{Im}(f^m) \subset V $ から \begin{align} \mathrm{Ker}(f^m) + \mathrm{Im}(f^m) \subset V \end{align} がわかる。
(iii) $v \in V$ が $ v \in \mathrm{Ker}(f^m)$ かつ $ v \in \mathrm{Im}(f^m)$ を満たすとすると、 $ v \in \mathrm{Im}(f^m)$ より \begin{align} v = f^m(v_0) \end{align} を満たす $v_0 \in V$ が存在し、 \begin{align} v &= f^m(v_0) \\ &= f^n(v_0) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because f^n = f^m ) \\ &= f^{n-2m} \left( f^m (v) \right) \\ &= f^{n-2m} (0) \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because v \in \mathrm{Ker}(f^m) ) \\ &= 0 \end{align} を得る。 つまり、 \begin{align} \mathrm{Ker}(f^m) \cap \mathrm{Im}(f^m) = \left\{ 0 \right\} \end{align} である。
(i), (ii) より、 \begin{align} V = \mathrm{Ker}(f^m) + \mathrm{Im}(f^m) \end{align} がわかり、さらに (iii) より、 \begin{align} V = \mathrm{Ker}(f^m) \oplus \mathrm{Im}(f^m) \end{align} がわかる。