$\pm, \mp$ はすべて複合同順とする。
ハミルトン正準方程式は \begin{align} \dot{q} &= \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p} = p ,\\ \dot{p} &= - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q} = - \omega^2 q \end{align} である。 これと与えられた補助微分方程式とを使って、 \begin{align} \dot{\mathcal{I}}(t) &= \left( \xi(t) p(t) - \dot{\xi}(t) q(t) \right) \left( \dot{\xi}(t) p(t) + \xi(t) \dot{p}(t) - \ddot{\xi}(t) q(t) - \dot{\xi}(t) \dot{q}(t) \right) \\ & \ \ \ \ + \frac{q(t)}{\xi(t)} \frac{\dot{q}(t) \xi(t) - q(t) \dot{\xi}(t)}{\xi(t)^2} \\ &= \left( \xi(t) p(t) - \dot{\xi}(t) q(t) \right) \left( \dot{\xi}(t) p(t) - \omega(t)^2 \xi(t) q(t) - \left( \frac{1}{\xi(t)^3} - \omega(t)^2 \xi(t) \right) q(t) - \dot{\xi}(t) p(t) \right) \\ & \ \ \ \ + \frac{q(t)}{\xi(t)^3} \left( p(t) \xi(t) - q(t) \dot{\xi}(t) \right) \\ &= \left( \xi(t) p(t) - \dot{\xi}(t) q(t) \right) \frac{-q(t)}{\xi(t)^3} + \frac{q(t)}{\xi(t)^3} \left( p(t) \xi(t) - q(t) \dot{\xi}(t) \right) \\ &= 0 \end{align} がわかる。
$[Q,P]=i, \ U^\dagger(t)U(t) = U(t)U^\dagger(t) = 1$ より、 \begin{align} \left[ Q(t), P(t) \right] &= U^\dagger(t) Q U(t) U^\dagger(t) P U(t) - U^\dagger(t) P U(t) U^\dagger(t) Q U(t) \\ &= U^\dagger(t) Q P U(t) - U^\dagger(t) P Q U(t) \\ &= U^\dagger(t) [Q,P] P U(t) \\ &= i \end{align} であり、 \begin{align} A_\pm(t) A_\mp(t) &= \frac{1}{2} \left\{ \frac{Q(t)}{\xi(t)} \mp i \left( \xi(t)P(t) - \dot{\xi}(t)Q(t) \right) \right\} \left\{ \frac{Q(t)}{\xi(t)} \pm i \left( \xi(t)P(t) - \dot{\xi}(t)Q(t) \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ \frac{Q(t)^2}{\xi(t)^2} + \left( \xi(t)P(t) - \dot{\xi}(t)Q(t) \right)^2 \pm i \left( \xi(t)Q(t)P(t) - \dot{\xi}(t)Q(t)^2 \right) \mp i \left( \xi(t)P(t)Q(t) - \dot{\xi}(t)Q(t)^2 \right) \right\} \\ &= I(t) \mp \frac{1}{2} \end{align} であるから、 \begin{align} \left[ A_-(t), A_+(t) \right] &= \left( I(t) + \frac{1}{2} \right) - \left( I(t) - \frac{1}{2} \right) \\ &= 1 ,\\ I(t) &= A_+(t) A_-(t) + \frac{1}{2} \end{align} がわかる。
\begin{align} \dot{U}^\dagger(t) &= i U^\dagger(t) H^\dagger(t) \\ &= i U^\dagger(t) H(t) ,\\ \left[ H(t), Q \right] &= \frac{1}{2} \left[ P^2, Q \right] \\ &= \frac{1}{2} \left( P \left[ P, Q \right] + \left[ P, Q \right] P \right) \\ &= -iP ,\\ \left[ H(t), P \right] &= \frac{\omega(t)^2}{2} \left[ Q^2, P \right] \\ &= \frac{\omega(t)^2}{2} \left( Q \left[ Q, P \right] + \left[ Q, P \right] Q \right) \\ &= i \omega(t)^2 Q ,\\ \dot{Q}(t) &= \dot{U}^\dagger(t) Q U(t) + U^\dagger(t) Q \dot{U}(t) \\ &= i U^\dagger(t) H(t) Q U(t) - i U^\dagger(t) Q H(t) U(t) \\ &= P(t) ,\\ \dot{P}(t) &= \dot{U}^\dagger(t) P U(t) + U^\dagger(t) P \dot{U}(t) \\ &= i U^\dagger(t) H(t) P U(t) - i U^\dagger(t) P H(t) U(t) \\ &= - \omega(t)^2 Q(t) ,\\ A_\pm(t) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{ \frac{\dot{Q}(t) \xi(t) - Q(t) \dot{\xi}(t)}{\xi(t)^2} \mp i \left( \dot{\xi}(t) P(t) + \xi(t) \dot{P}(t) - \ddot{\xi}(t) Q(t) - \dot{\xi}(t) \dot{Q}(t) \right) \right\} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{ \frac{P(t) \xi(t) - Q(t) \dot{\xi}(t)}{\xi(t)^2} \mp i \left( \dot{\xi}(t) P(t) - \omega(t)^2 \xi(t) Q(t) + \left( \omega(t)^2 \xi(t) - \frac{1}{\xi(t)^3} \right) Q(t) - \dot{\xi}(t) P(t) \right) \right\} \\ &= \frac{\pm i}{\sqrt{2} \xi(t)^2} \left( \frac{Q(t)}{\xi(t)} \mp i \left( P(t) \xi(t) - Q(t) \dot{\xi}(t) \right) \right) \\ &= \frac{\pm i}{\xi(t)^2} A_\pm(t) ,\\ \dot{I}(t) &= \dot{A}_+(t) A_-(t) + A_+(t) \dot{A}_-(t) \\ &= \frac{i}{\xi(t)^2} A_+(t) A_-(t) - \frac{i}{\xi(t)^2} A_+(t) A_-(t) \\ &= 0 \end{align}