まず、ボルツマン定数を $k_B$ , 絶対温度を $T$ , カノニカル分布の分配関数を $Z(T)$ , ヘルムホルツの自由エネルギーを $F(T)$ , 内部エネルギーを $U(T)$ , エントロピーを $S(T)$ , 比熱を $C(T)$ とすると、 \begin{align} F(T) &= - k_B T \log Z(T) \\ S(T) &= - \frac{dF(T)}{dT} \\ U(T) &= F(T) + T S(T) \\ &= F(T) - T \frac{dF(T)}{dT} \\ &= - k_B T \log Z(T) + k_B T \frac{d}{dT} T \log Z(T) \\ &= k_B T^2 \frac{d}{dT} \log Z(T) \\ C(T) &= \frac{d U(T)}{dT} \end{align} である。
与えられたハミルトニアンに対する分配関数を求めるため、 次の積分を計算しておく （ $\hbar$ はプランク定数を $2 \pi$ で割ったものである）： \begin{align} &\frac{1}{2 \pi \hbar} \int_{- \infty}^\infty \exp \left( - \frac{p^2}{2m k_B T} \right) dp \int_{- \infty}^\infty \exp \left( - \frac{m \omega^2 x^2}{2 k_B T} \right) dx \\ &= \frac{1}{2 \pi \hbar} \sqrt{2 \pi m k_B T} \sqrt{\frac{2 \pi k_B T}{m \omega^2}} \\ &= \frac{k_B T}{\hbar \omega} \end{align} よって、分配関数 $Z(T)$ , 内部エネルギー $U(T)$ , 比熱 $C(T)$ は次のように計算できる： \begin{align} Z(T) &= \left( \frac{k_B T}{\hbar \omega} \right)^{3N} \\ U(T) &= k_B T^2 \frac{d}{dT} \log Z(T) \\ &= 3N k_B T^2 \frac{d}{dT} \log \left( \frac{k_B T}{\hbar \omega} \right) \\ &= 3N k_B T \\ C(T) &= \frac{d U(T)}{dT} \\ &= 3N k_B \end{align}
1自由度の分配関数は次のように計算できる： \begin{align} \sum_{n=0}^\infty \exp \left( - \left(n + \frac{1}{2} \right) \frac{\hbar \omega}{k_B T} \right) &= \frac{ \exp \left( - \frac{\hbar \omega}{2k_BT} \right)} {1 - \exp \left( - \frac{\hbar \omega}{k_BT} \right)} \\ &= \frac{1} {\exp \left( \frac{\hbar \omega}{2k_BT} \right) - \exp \left( - \frac{\hbar \omega}{2k_BT} \right)} \\ &= \frac{1}{2 \sinh \frac{\hbar \omega}{2k_BT}} \end{align}
よって、分配関数 $Z(T)$ , 内部エネルギー $U(T)$ , 比熱 $C(T)$ は次のように計算できる： \begin{align} Z(T) &= \left( 2 \sinh \frac{\hbar \omega}{2k_BT} \right)^{-3N} \\ U(T) &= k_B T^2 \frac{d}{dT} \log Z(T) \\ &= -3N k_B T^2 \frac{d}{dT} \log \left( 2 \sinh \frac{\hbar \omega}{2k_BT} \right) \\ &= -3N k_B T^2 \frac{ \cosh \frac{\hbar \omega}{2k_BT} } { \sinh \frac{\hbar \omega}{2k_BT} } \cdot \left( - \frac{\hbar \omega}{2k_BT^2} \right) \\ &= \frac{3}{2} N \hbar \omega \frac{ \cosh \frac{\hbar \omega}{2k_BT} } { \sinh \frac{\hbar \omega}{2k_BT} } \\ C(T) &= \frac{d U(T)}{dT} \\ &= \frac{3}{2} N \hbar \omega \frac{1} { \sinh^2 \frac{\hbar \omega}{2k_BT} } \cdot \left( - \frac{\hbar \omega}{2k_BT^2} \right) \\ &= \frac{3 N \hbar^2 \omega^2} { 4 k_B T^2 \sinh^2 \frac{\hbar \omega}{2k_BT} } \end{align}
(i) 高温すなわち $k_BT \gg \hbar \omega$ のとき、 \begin{align} \sinh \frac{\hbar \omega}{2k_BT} \simeq \frac{\hbar \omega}{2k_BT} \end{align} であるから、 \begin{align} C(T) &\simeq \frac{3 N \hbar^2 \omega^2} { 4 k_B T^2 \left( \frac{\hbar \omega}{2k_BT} \right)^2 } \\ &= 3Nk_B \end{align} となり、 (1) の結果が再現される。
(ii) 低温すなわち $k_BT \ll \hbar \omega$ のとき、 \begin{align} \sinh \frac{\hbar \omega}{2k_BT} \simeq \frac{1}{2} \exp \left( \frac{\hbar \omega}{2k_BT} \right) \end{align} であるから、 \begin{align} C(T) &\simeq \frac{3 N \hbar^2 \omega^2} { 4 k_B T^2 \left( \frac{1}{2} \exp \left( \frac{\hbar \omega}{2k_BT} \right) \right)^2 } \\ &= 3Nk_B \left( \frac{\hbar \omega}{k_BT} \right)^2 \exp \left( - \frac{\hbar \omega}{k_BT} \right) \end{align} となる。