\begin{align} \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} &= \frac{d}{dt} \frac{d \vec{r}}{dt} \\ &= \frac{d'}{dt} \frac{d \vec{r}}{dt} + \vec{\omega} \times \frac{d \vec{r}}{dt} \\ &= \frac{d'}{dt} \left( \frac{d' \vec{r}}{dt} + \vec{\omega} \times \vec{r} \right) + \vec{\omega} \times \left( \frac{d' \vec{r}}{dt} + \vec{\omega} \times \vec{r} \right) \\ &= \frac{d'^2 \vec{r}}{dt^2} + 2 \vec{\omega} \times \frac{d' \vec{r}}{dt} + \vec{\omega} \times \left( \vec{\omega} \times \vec{r} \right) \end{align} 最後の表式の第2項がコリオリの力に相当し、第3項が遠心力に相当する。
$B = |\vec{B}|$ とする。 慣性系 $S$ での運動方程式は \begin{align} m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F} \left( \vec{r} \right) + q \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{B} \end{align} なので、 (1) より、回転系 $S'$ での運動方程式は次のようになる： \begin{align} m \left( \frac{d'^2 \vec{r}}{dt^2} + 2 \omega \vec{k} \times \frac{d' \vec{r}}{dt} + \omega^2 \vec{k} \times \left( \vec{k} \times \vec{r} \right) \right) = \vec{F} \left( \vec{r} \right) + qB \left( \frac{d' \vec{r}}{dt} + \omega \vec{k} \times \vec{r} \right) \times \vec{k} \\ \therefore \ \ m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F} \left( \vec{r} \right) + (qB+2m \omega) \frac{d' \vec{r}}{dt} \times \vec{k} - (qB \omega + m \omega^2 ) \vec{k} \times \left( \vec{k} \times \vec{r} \right) \end{align}
求める条件は、 \begin{align} \omega &= - \frac{qB}{2m} \\ \therefore \ \ \vec{\omega} &= - \frac{q}{2m} \vec{B} \end{align} である。
\begin{align} dU &= TdS - pdV \\ dF &= d(U-TS) \\ &= -SdT - pdV \end{align}
\begin{align} \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T &= T \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T - p \\ &= -T \frac{\partial^2 F}{\partial V \partial T} - p \\ &= -T \frac{\partial^2 F}{\partial T \partial V} - p \\ &= T \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V - p \end{align}
(2) で得た式に \begin{align} U(T,V) = V \tilde{u}(T) , \ \ p(T,V) = \frac{1}{3} \tilde{u}(T) \end{align} を代入すると、 \begin{align} \tilde{u}(T) &= T \cdot \frac{1}{3} \frac{d \tilde{u}(T)}{dT} - \frac{1}{3} \tilde{u}(T) \\ \therefore \ \ \frac{d \tilde{u}}{\tilde{u}} &= \frac{4}{T} dT \\ \therefore \ \ \log \tilde{u} &= 4 \log T + C \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ ( $C$ は積分定数 )} \\ &= \log T^4 + C \end{align} となるので、 $\tilde{u}$ は $T$ の4乗に比例することがわかる。