\begin{align} A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{align}
$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 1 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \\ &= \lambda^2 - 6 \lambda + 8 \\ &= (\lambda - 2) (\lambda - 4) \\ \therefore \ \ \lambda &= 2, 4 \end{align} を得る。
$x, y$ を適当に直交変換して $u, v$ を作ると、 与えられた $3x^2+2xy+3y^2=1$ は \begin{align} 2 u^2 + 4v^2 &= 1 \\ \therefore \ \ \left( \frac{u}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \right)^2 + \left( \frac{v}{\frac{1}{2}} \right)^2 &= 1 \end{align} となり、楕円の長半径が $1/\sqrt{2}$ で短半径が $1/2$ であることがわかる。 よって、求める面積は \begin{align} \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \end{align} である。