与えられた $f(x)$ は偶関数であるから、次のように余弦級数展開できる： \begin{align} f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos \left( \frac{n \pi x}{2a} \right) . \end{align} ここで、 \begin{align} a_0 &= \frac{1}{2a} \int_{-2a}^{2a} f(x) \ dx \\ &= \frac{1}{2a} \int_{-a}^a dx \\ &= 1 \end{align} であり、 $n=1, 2, \cdots$ について \begin{align} a_n &= \frac{1}{2a} \int_{-2a}^{2a} f(x) \cos \left( \frac{n \pi x}{2a} \right) \ dx \\ &= \frac{1}{a} \int_0^a \cos \left( \frac{n \pi x}{2a} \right) \ dx \\ &= \frac{1}{a} \cdot \frac{2a}{n \pi} \left[ \sin \left( \frac{n \pi x}{2a} \right) \right]_0^a \\ &= \frac{2}{n \pi} \sin \left( \frac{n \pi}{2} \right) \end{align} である。 よって、 \begin{align} f(x) &= \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{4m+1} \cos \left( \frac{(4m+1) \pi x}{2a} \right) - \frac{2}{\pi} \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{4m+3} \cos \left( \frac{(4m+3) \pi x}{2a} \right) \end{align} を得る。