線積分が経路によらない条件は \begin{align} 0 &= \frac{\partial}{\partial y} \left( \alpha x^4 y + \beta x^2 y^3 - y^5 \right) - \frac{\partial}{\partial x} \left( 2x^5 + 2x^3y^2 - 5xy^4 \right) \\ &= \left( \alpha x^4 + 3 \beta x^2 y^2 - 5 y^4 \right) - \left( 10x^4 + 6x^2y^2 - 5y^4 \right) \\ &= (\alpha - 10) x^4 + 3(\beta - 2)x^2y^2 \end{align} であるから、 \begin{align} \alpha = 10, \ \ \beta = 2 \end{align} を得る。