f(0)=1f′(x)=2(sinx+1)cosxf′(0)=2f″ なので、 f(x) の2次までのマクローリン展開は \begin{align} 1 + 2 x + x^2 \end{align} である。
\begin{align} \frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{1}{x^2 y} , \ \ \frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{x y^2} \end{align} なので、曲面 z=f(x,y) の点 (\alpha, \beta, 1/(\alpha \beta)) における接平面の方程式は \begin{align} z - \frac{1}{\alpha \beta} &= - \frac{1}{\alpha^2 \beta} (x - \alpha) - \frac{1}{\alpha \beta^2} (y - \beta) \\ \therefore \ \ z &= - \frac{x}{\alpha^2 \beta} - \frac{y}{\alpha \beta^2} + \frac{3}{\alpha \beta} \end{align} である。
まず、 \begin{align} x \frac{dy}{dx} + y &= 0 \\ \therefore \ \ \frac{dy}{y} &= - \frac{dx}{x} \end{align} の一般解は \begin{align} y = \frac{A}{x} \ \ \ \ \text{( $A$ は任意定数 )} \end{align} である。 そこで、 A(x) を適当な関数として、 y = A(x) / x を与えられた微分方程式に代入して整理すると、 \begin{align} \frac{dA(x)}{dx} = x^2 \log x \end{align} となるので、 \begin{align} A(x) &= \int x^2 \log x \ dx \\ &= \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{3} \int x^2 \ dx \\ &= \frac{1}{3} x^3 \log x - \frac{1}{9} x^3 + C \ \ \ \ \text{( $C$ は任意定数 )} \end{align} を得る。 したがって、与えられた微分方程式の一般解は \begin{align} y &= \frac{1}{3} x^2 \log x - \frac{1}{9} x^2 + \frac{C}{x} \ \ \ \ \text{( $C$ は任意定数 )} \end{align} であることがわかる。
極座標 x = r \cos \theta , \ y = r \sin \theta を導入すると、 dxdy = r dr d \theta なので、 \begin{align} \iint_D y dx dy &= \int_0^1 r^2 \ dr \int_0^\pi \sin \theta \ d \theta \\ &= \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^1 \left[ - \cos \theta \right]_0^\pi \\ &= \frac{2}{3} \end{align} がわかる。