\begin{align} AB &= \begin{pmatrix} 2p & 2q \\ 3p+2r & 3q+2s \end{pmatrix} \\ BA &= \begin{pmatrix} 2p+3q & 2q \\ 2r+3s & 2s \end{pmatrix} \end{align} なので、 $AB=BA$ から $q=0, p=s$ が導かれる。
\begin{align} B &= \begin{pmatrix} p & 0 \\ r & p \end{pmatrix} \\ &= \frac{r}{3} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{r}{3} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + \left( p - \frac{2r}{3} \right) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{r}{3} A + \left( p - \frac{2r}{3} \right) E \end{align}
$A,E$ は互いに実数倍ではないので、一次独立である。