(i) $V$ の基底としては、例えば、 \begin{align} \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} がある。
(ii) $W$ の基底としては、例えば、 \begin{align} \boldsymbol{w}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{w}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} がある。
(iii) $\boldsymbol{v}_2 = a \boldsymbol{w}_1 + b \boldsymbol{w}_2$ を満たす実数 $a,b$ は存在しないが、 $\boldsymbol{v}_1 = 3 \boldsymbol{w}_1 + \boldsymbol{v}_2$ は成り立つ。 よって、 $V+W$ は3次元であり、例えば $\boldsymbol{w}_1, \boldsymbol{w}_2, \boldsymbol{v}_2$ はその基底である。
(iv) $V+W$ が3次元であることから、 $V \cap W$ は1次元であることがわかる。 $\boldsymbol{w}_1 \in W$ かつ $\boldsymbol{w}_1 = (\boldsymbol{v}_1 - \boldsymbol{v}_2)/3 \in V$ であるから、 $\boldsymbol{w}_1$ は $V \cap W$ の基底になっていることがわかる。