$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、 \begin{align} 0 &= \begin{pmatrix} 1 - \lambda & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{n} & 1 - \lambda \end{pmatrix} \\ &= \lambda^2 - 2 \lambda + \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \\ &= \left( \lambda - \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right) \left( \lambda - \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \right) \\ \therefore \ \ \lambda &= 1 - \frac{1}{n} , 1 + \frac{1}{n} \end{align} である。 また、 \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} は、それぞれの固有値に属する固有ベクトルである。 そこで、 \begin{align} P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 \begin{align} P^{-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} , \\ A &= P \begin{pmatrix} 1-\frac{1}{n} & 0 \\ 0 & 1+\frac{1}{n} \end{pmatrix} P^{-1} \end{align} なので、 \begin{align} A^n &= P \begin{pmatrix} 1-\frac{1}{n} & 0 \\ 0 & 1+\frac{1}{n} \end{pmatrix}^n P^{-1} \\ &= P \begin{pmatrix} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n & 0 \\ 0 & \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \end{pmatrix} P^{-1} \\ \therefore \ \ \lim_{n \to \infty} A^n &= P \begin{pmatrix} \frac{1}{e} & 0 \\ 0 & e \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e + \frac{1}{e} & e + \frac{1}{e} \\ e - \frac{1}{e} & e + \frac{1}{e} \end{pmatrix} \end{align} がわかる。
$x \gt 0$ のとき $f(x) \gt 0$ であり、 \begin{align} \log f(x) &= \sin x \log x \\ \therefore \ \ \frac{f'(x)}{f(x)} &= \cos x \log x + \frac{1}{x} \sin x \\ \therefore \ \ f'(x) &= f(x) \left( \cos x \log x + \frac{1}{x} \sin x \right) \\ &= x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{1}{x} \sin x \right) \end{align} である。
\begin{align} \frac{dt}{dx} &= \frac{1}{2} \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{t^2 + 1}{2} \\ \sin x &= 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{2t}{t^2 + 1} \end{align} なので、 \begin{align} \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{1 + \sin x} dx &= \int_0^1 \frac{1}{1 + \frac{2t}{t^2 + 1}} \frac{2}{t^2 + 1} dt \\ &= 2 \int_0^1 \frac{1}{(t+1)^2} dt \\ &= 2 \left[ - \frac{1}{t+1} \right]_0^1 \\ &= 1 \end{align} を得る。