$x \gt 0$ のとき $f(x) \gt 0$ であり、 \begin{align} \log f(x) &= \sin x \log x \\ \therefore \ \ \frac{f'(x)}{f(x)} &= \cos x \log x + \frac{1}{x} \sin x \\ \therefore \ \ f'(x) &= f(x) \left( \cos x \log x + \frac{1}{x} \sin x \right) \\ &= x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{1}{x} \sin x \right) \end{align} である。
\begin{align} \frac{dt}{dx} &= \frac{1}{2} \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{t^2 + 1}{2} \\ \sin x &= 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{2t}{t^2 + 1} \end{align} なので、 \begin{align} \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{1 + \sin x} dx &= \int_0^1 \frac{1}{1 + \frac{2t}{t^2 + 1}} \frac{2}{t^2 + 1} dt \\ &= 2 \int_0^1 \frac{1}{(t+1)^2} dt \\ &= 2 \left[ - \frac{1}{t+1} \right]_0^1 \\ &= 1 \end{align} を得る。