時間微分を $d/dt$ や $\dot{}$ で表す。
\begin{align} x &= r \sin \theta \cos \omega t \\ y &= r \sin \theta \sin \omega t \\ z &= r \cos \theta \end{align}
\begin{align} \dot{x} &= \dot{r} \sin \theta \cos \omega t - \omega r \sin \theta \sin \omega t \\ \dot{y} &= \dot{r} \sin \theta \sin \omega t + \omega r \sin \theta \cos \omega t \\ \dot{z} &= \dot{r} \cos \theta \end{align} から、 \begin{align} K &= \frac{1}{2} m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) \\ &= \frac{1}{2} m \left( \dot{r}^2 + \omega^2 r^2 \sin^2 \theta \right) \end{align} がわかる。
原点 O で $V=0$ とすると、 \begin{align} V &= mgz \\ &= mgr \cos \theta \end{align} であり、 \begin{align} L &= K-V \\ &= \frac{1}{2} m \left( \dot{r}^2 + \omega^2 r^2 \sin^2 \theta \right) - mgr \cos \theta \end{align} がわかる。
\begin{align} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} &= \frac{d}{dt} m \dot{r} \\ &= m \ddot{r} \\ \frac{\partial L}{\partial r} &= m \omega^2 r \sin^2 \theta - mg \cos \theta \end{align} なので、オイラー-ラグランジュ方程式は \begin{align} \ddot{r} &= \omega^2 r \sin^2 \theta - g \cos \theta \end{align} となる。
$r=r_0$ のとき $\ddot{r}=0$ であるから、(4) で得た式より、 \begin{align} \omega^2 r_0 \sin^2 \theta - g \cos \theta = 0 \end{align} がわかる。 そこで、 (4) で得た式に $r=s+r_0$ を代入すると、 \begin{align} \ddot{s} &= \omega^2 (s+r_0) \sin^2 \theta - g \cos \theta \\ &= \omega^2 s \sin^2 \theta \end{align} を得る。
(5) で得た微分方程式の一般解は \begin{align} s &= A e^{\omega t \sin \theta} + B e^{- \omega t \sin \theta} \ \ \ \ \ \ \ \ (A,B \text{ は積分定数 } ) \\ \dot{s} &= \omega \sin \theta \left( A e^{\omega t \sin \theta} - B e^{- \omega t \sin \theta} \right) \end{align} であり、 $t=0$ のとき $s=\delta s, \dot{s}=0$ であるから、 \begin{align} s &= \frac{\delta s}{2} \left( e^{\omega t \sin \theta} + e^{- \omega t \sin \theta} \right) \\ \dot{s} &= \frac{\delta s}{2} \omega \sin \theta \left( e^{\omega t \sin \theta} - e^{- \omega t \sin \theta} \right) \end{align} がわかる。
$\delta s \gt 0$ のとき、 $t \gt 0$ において $\dot{s} \gt 0$ であるから、 $r$ は単調に増加する。 また、 $\delta s \lt 0$ のとき、 $t \gt 0$ において $\dot{s} \lt 0$ であるから、 $r$ は単調に減少する。 よって、このつり合いは不安定である。