\begin{align} y e^{-y^2} dy &= 2xdx \\ - \frac{1}{2} e^{-y^2} &= x^2 + C_0 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_0 \text{ は積分定数} ) \\ -y^2 &= \log \left( C - 2x^2 \right) \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数} ) \\ y^2 &= - \log \left( C - 2x^2 \right) \\ y &= \pm \sqrt{ - \log \left( C - 2x^2 \right) } \end{align}
まず、 $xy'+(1+x)y=0$ を考えると、 \begin{align} \frac{dy}{y} &= - \frac{1}{x} - 1 \\ \log |y| &= - \log |x| - x + A \ \ \ \ \ \ \ \ ( A \text{ は積分定数} ) \\ y &= \frac{B e^{-x}}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( B \text{ は積分定数} ) \end{align} が一般解である。 そこで、 $B(x)$ を $x$ の適当な関数として、 $y=B(x)e^{-x}/x$ を与えられた微分方程式に代入して整理すると、 \begin{align} \frac{dB(x)}{dx} &= 1 \\ \therefore \ \ B(x) &= x + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数} ) \end{align} を得るので、求める一般解は、 \begin{align} y &= \frac{(x + C)e^{-x}}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数} ) \end{align} である。
与えられた微分方程式に $y'=e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数） を代入すると、 $\lambda = \pm 3$ となるので、 \begin{align} y' = A e^{3x} + B e^{-3x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数} ) \end{align} を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は \begin{align} y = C e^{3x} + D e^{-3x} + E \ \ \ \ \ \ \ \ ( C, D, E \text{ は積分定数} ) \end{align} である。
まず、 $y''+4y'+3y=0$ を考えて、 $y=e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数）を代入すると $\lambda = -1,-3$ となるので、一般解は \begin{align} y = A e^{-x} + B e^{-3x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数} ) \end{align} である。 また、与えられた微分方程式の特殊解を求めるため、 $y=Cx+D$ （ $C,D$ は $x$ によらない定数）を代入すると、 \begin{align} C = \frac{1}{3}, \ \ D = - \frac{7}{9} \end{align} を得る。 よって、求める一般解は \begin{align} y = A e^{-x} + B e^{-3x} + \frac{1}{3} x - \frac{7}{9} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数} ) \end{align} である。
まず、 $y''-y=0$ を考えて、 $y=e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数）を代入すると $\lambda = \pm 1$ となるので、一般解は \begin{align} y = A e^{x} + B e^{-x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数} ) \end{align} である。 また、与えられた微分方程式の特殊解を求めるため、 $y=Cxe^x+De^{2x}$ （ $C,D$ は $x$ によらない定数）を代入すると、 \begin{align} C = \frac{1}{2}, \ \ D = \frac{2}{3} \end{align} を得る。 よって、求める一般解は \begin{align} y = A e^x + B e^{-x} + \frac{1}{2} xe^x + \frac{2}{3} e^{2x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数} ) \end{align} である。