シュレディンガー方程式 \begin{align} i \hbar \frac{d}{dt} | \varphi(t) \rangle = \hat{H} | \varphi(t) \rangle \end{align} に \begin{align} | \varphi(t) \rangle = c_1(t) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2(t) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} を代入すると、 \begin{align} i \hbar \left( \frac{dc_1(t)}{dt} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{dc_2(t)}{dt} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \varepsilon_1 c_1(t) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \varepsilon_2 c_2(t) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} となるから、 \begin{align} i \hbar \frac{dc_1(t)}{dt} = \varepsilon_1 c_1(t) , \ \ i \hbar \frac{dc_2(t)}{dt} = \varepsilon_2 c_2(t) \end{align} であり、 \begin{align} c_1(t) = c_1(0) \exp \left( -i \frac{\varepsilon_1 t}{\hbar} \right) , \ \ c_2(t) = c_2(0) \exp \left( -i \frac{\varepsilon_2 t}{\hbar} \right) \end{align} がわかる。
まず、 \begin{align} \hat{\sigma} | \lambda_1 \rangle &= \begin{pmatrix} \cos 2 \theta \cos \theta + \sin 2 \theta \sin \theta \\ \sin 2 \theta \cos \theta - \cos 2 \theta \sin \theta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} \\ &= | \lambda_1 \rangle \end{align} なので、 $| \lambda_1 \rangle$ は $\hat{\sigma}$ の固有値 $1$ に属する固有ベクトルである。 また、 \begin{align} \hat{\sigma} | \lambda_2 \rangle &= \begin{pmatrix} - \cos 2 \theta \sin \theta + \sin 2 \theta \cos \theta \\ - \sin 2 \theta \sin \theta - \cos 2 \theta \cos \theta \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \sin \theta \\ - \cos \theta \end{pmatrix} \\ &= - | \lambda_2 \rangle \end{align} なので、 $| \lambda_2 \rangle$ は $\hat{\sigma}$ の固有値 $-1$ に属する固有ベクトルである。
\begin{align} | \varphi(0) \rangle &= | \lambda_1 \rangle \\ &= \cos \theta \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \sin \theta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} なので、 (1) から、 \begin{align} | \varphi(t) \rangle &= \cos \theta \exp \left( -i \frac{\varepsilon_1 t}{\hbar} \right) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \sin \theta \exp \left( -i \frac{\varepsilon_2 t}{\hbar} \right) \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} がわかる。 よって、 \begin{align} \langle \lambda_1 | \hat{\sigma} | \varphi(t) \rangle &= \langle \lambda_1 | \varphi(t) \rangle \\ &= \cos^2 \theta \exp \left( -i \frac{\varepsilon_1 t}{\hbar} \right) + \sin^2 \theta \exp \left( -i \frac{\varepsilon_2 t}{\hbar} \right) \end{align} となり、求める確率は、 \begin{align} \left| \langle \lambda_1 | \hat{\sigma} | \varphi(t) \rangle \right|^2 &= \cos^4 \theta + \sin^4 \theta + \cos^2 \theta \sin^2 \theta \left( \exp \left( i \frac{(\varepsilon_1-\varepsilon_2) t}{\hbar} \right) + \exp \left( -i \frac{(\varepsilon_1-\varepsilon_2) t}{\hbar} \right) \right) \\ &= 1 + \frac{1}{2} \sin^2 2 \theta \left( \cos \left( \frac{(\varepsilon_1-\varepsilon_2)t}{\hbar} - 1 \right) \right) \end{align} である。
波動関数の規格化条件より、 \begin{align} 1 &= \int_{-\infty}^\infty \left| \psi(x) \right|^2 dx \\ &= |C|^2 \int_0^\infty x^2 e^{-ax} dx \\ &= |C|^2 \frac{2}{a^3} \end{align} なので、 \begin{align} C &= \sqrt{\frac{a^3}{2}} \end{align} とすればよい。
ポテンシャルエネルギーの期待値は \begin{align} \int_{-\infty}^\infty \psi(x)^* V(x) \psi(x) dx &= |C|^2 v_0 \int_0^\infty x^3 e^{-ax} dx \\ &= \frac{a^3}{2} v_0 \frac{3!}{a^4} \\ &= \frac{3v_0}{a} \end{align} であり、運動エネルギーの期待値は \begin{align} \int_{-\infty}^\infty \psi(x)^* \left( - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \right) \psi(x) dx &= - \frac{\hbar^2}{2m} |C|^2 \int_0^\infty xe^{-\frac{ax}{2}} \left( -a + \frac{a^2}{4} x \right) e^{-\frac{ax}{2}} dx \\ &= - \frac{\hbar^2 a}{2m} \frac{a^3}{2} \int_0^\infty \left( -x + \frac{a}{4} x^2 \right) e^{-ax} dx \\ &= - \frac{\hbar^2 a^4}{4m} \left( - \frac{1!}{a^2} + \frac{a}{4} \frac{2!}{a^3} \right) \\ &= \frac{\hbar^2 a^2}{8m} \end{align} であるから、エネルギーの期待値は \begin{align} \frac{3v_0}{a} + \frac{\hbar^2 a^2}{8m} \end{align} である。