\begin{align} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}
(1) で求めた行列 \begin{align} A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{align} の固有値を $a$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} 3-a & 1 \\ 1 & 3-a \end{pmatrix} \\ &= a^2 - 6a + 8 \\ &= (a-2)(a-4) \\ \therefore \ \ a &= 2, 4 \end{align} である。 固有値 $a=2$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと $u+v=0$ であり、 固有値 $a=4$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと $u=v$ である。 よって、行列 \begin{align} P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} , \ \ Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{align} によって $xy$ 平面を $xy$ 平面に変換することで、 $C$ の標準形が得られる。
(i) $C$ は \begin{align} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} P P^{-1} A P P^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= 1 \end{align} と書けるので、 \begin{align} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} &= P^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} x-y \\ x+y \end{pmatrix} \end{align} と変換することで、標準形 \begin{align} 2X^2 + 4Y^2 = 1 \end{align} を得る。
(ii) $C$ は \begin{align} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} Q Q^{-1} A Q Q^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= 1 \end{align} と書けるので、 \begin{align} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} &= Q^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} x+y \\ x-y \end{pmatrix} \end{align} と変換することで、標準形 \begin{align} 4X^2 + 2Y^2 = 1 \end{align} を得る。
実対称行列 $B$ の固有値を $b$ とし、それに属する固有ベクトルを $\boldsymbol{v}$ とする： \begin{align} B \boldsymbol{v} = b \boldsymbol{v} . \end{align} 複素数の複素共役を $*$ で表し、 行列・ベクトルのエルミート共役を $\dagger$ で表すと、次が成り立つ： \begin{align} \boldsymbol{v}^\dagger B^\dagger &= b^* \boldsymbol{v}^\dagger . \end{align} $B$ は実対称行列であり $B^\dagger = B$ であるから、次のように書ける： \begin{align} \boldsymbol{v}^\dagger B &= b^* \boldsymbol{v}^\dagger . \end{align} そこで、 $\boldsymbol{v}^\dagger B \boldsymbol{v}$ は、次の2通りに計算できる： \begin{align} \boldsymbol{v}^\dagger B \boldsymbol{v} &= \boldsymbol{v}^\dagger \left( B \boldsymbol{v} \right) \\ &= b \boldsymbol{v}^\dagger \boldsymbol{v} , \\ \boldsymbol{v}^\dagger B \boldsymbol{v} &= \left( \boldsymbol{v}^\dagger B \right) \boldsymbol{v} \\ &= b^* \boldsymbol{v}^\dagger \boldsymbol{v} . \end{align} $\boldsymbol{v}$ はゼロベクトルでないから $ \boldsymbol{v}^\dagger \boldsymbol{v} \ne 0 $ であり、 $ b = b^* $ すなわち $b$ は実数であることがわかる。
$ r \ne 0 $ のとき、 \begin{align} \frac{\partial}{\partial x} r &= \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ &= \frac{x}{r} \\ \therefore \ \ \frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{r^3} &= \frac{r^3 - x \cdot 3 r^2 \cdot \frac{x}{r}}{r^6} \\ &= \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5} \end{align} であり、同様にして、 \begin{align} \frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{r^3} &= \frac{1}{r^3} - \frac{3y^2}{r^5} ,\\ \frac{\partial}{\partial z} \frac{z}{r^3} &= \frac{1}{r^3} - \frac{3z^2}{r^5} \end{align} である。 よって、 \begin{align} \mathrm{div} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} &= \frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{r^3} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{r^3} + \frac{\partial}{\partial z} \frac{z}{r^3} \\ &= 0 \end{align} がわかる。
閉曲面 $S$ で囲まれる部分を $V$ で表す。
ガウスの発散定理より、 \begin{align} \iint_S \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \cdot \boldsymbol{n} dS &= \iiint_V \mathrm{div} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} dV \\ &= 0 \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (1) } ) \end{align} がわかる。
原点を中心とする半径 $\varepsilon$ の球面を $S_0$ とする。 ただし、 $\varepsilon$ は十分小さく、 $S_0$ は $V$ の内部にあるとする。 また、 $S_0$ に囲まれる部分を $V_0$ とし、 $V$ から $V_0$ を除いた部分を $V_1$ とする。 さらに、 $S_0$ の外向きの単位法線ベクトルを $\boldsymbol{n}_0$ とする。 このとき、 \begin{align} \iint_S \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \cdot \boldsymbol{n} dS &= \iint_{S_0} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \cdot \boldsymbol{n}_0 dS_0 + \left( \iint_{S_0} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \cdot \left( - \boldsymbol{n}_0 \right) dS_0 + \iint_S \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \cdot \boldsymbol{n} dS \right) \\ &= \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot 4 \pi \varepsilon^2 + \iiint_{V_0} \mathrm{div} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} dV_0 \\ &= 4 \pi \end{align} がわかる。