\begin{align} &\sin (k_1x-\omega_1t) + \sin (k_2x-\omega_2t) \\ = &\sin ((k+\Delta k)x-(\omega+\Delta \omega)t) + \sin ((k-\Delta k)x-(\omega-\Delta \omega)t) \\ = &\sin ((kx-\omega t) + (\Delta kx - \Delta \omega t)) + \sin ((kx-\omega t) - (\Delta kx - \Delta \omega t)) \\ = &2 \cos (\Delta kx - \Delta \omega t) \sin (kx-\omega t) \end{align} なので、 \begin{align} B = \Delta kx - \Delta \omega t \end{align} である。
波 1, 2 の位相速度 $C_1, C_2$ は \begin{align} C_1 &= \frac{\omega + \Delta \omega}{k + \Delta k} \\ &= \frac{\omega}{k} \left( 1 + \frac{\Delta \omega}{\omega} \right) \left( 1 + \frac{\Delta k}{k} \right)^{-1} \\ &\simeq \frac{\omega}{k} \left( 1 + \frac{\Delta \omega}{\omega} \right) \left( 1 - \frac{\Delta k}{k} \right) \\ &\simeq \frac{\omega}{k} \left( 1 + \frac{\Delta \omega}{\omega} - \frac{\Delta k}{k} \right) \\ C_2 &= \frac{\omega - \Delta \omega}{k - \Delta k} \\ &= \frac{\omega}{k} \left( 1 - \frac{\Delta \omega}{\omega} \right) \left( 1 - \frac{\Delta k}{k} \right)^{-1} \\ &\simeq \frac{\omega}{k} \left( 1 - \frac{\Delta \omega}{\omega} \right) \left( 1 + \frac{\Delta k}{k} \right) \\ &\simeq \frac{\omega}{k} \left( 1 - \frac{\Delta \omega}{\omega} + \frac{\Delta k}{k} \right) \end{align} である。 $C_1=C_2$ から、 \begin{align} \frac{\Delta \omega}{\omega} - \frac{\Delta k}{k} &= - \frac{\Delta \omega}{\omega} + \frac{\Delta k}{k} \\ \therefore \ \ \frac{\Delta k}{k} &= \frac{\Delta \omega}{\omega} \\ \therefore \ \ \frac{\omega}{k} &= \frac{\Delta \omega}{\Delta k} \\ \therefore \ \ C &= C_g \end{align} を得る。