\begin{align} &\sin (k_1x-\omega_1t) + \sin (k_2x-\omega_2t) \\ = &\sin ((k+\Delta k)x-(\omega+\Delta \omega)t) + \sin ((k-\Delta k)x-(\omega-\Delta \omega)t) \\ = &\sin ((kx-\omega t) + (\Delta kx - \Delta \omega t)) + \sin ((kx-\omega t) - (\Delta kx - \Delta \omega t)) \\ = &2 \cos (\Delta kx - \Delta \omega t) \sin (kx-\omega t) \end{align} なので、 \begin{align} B = \Delta kx - \Delta \omega t \end{align} である。
波 1, 2 の位相速度 $C_1, C_2$ は \begin{align} C_1 &= \frac{\omega + \Delta \omega}{k + \Delta k} ,\\ C_2 &= \frac{\omega - \Delta \omega}{k - \Delta k} \end{align} である。 $C_1=C_2$ から、 \begin{align} \frac{\omega + \Delta \omega}{k + \Delta k} &= \frac{\omega - \Delta \omega}{k - \Delta k} \\ \omega k + \Delta \omega \cdot k - \omega \Delta k - \Delta \omega \cdot \Delta k &= \omega k - \Delta \omega \cdot k + \omega \Delta k - \Delta \omega \cdot \Delta k \\ \Delta \omega \cdot k &= \omega \Delta k \\ \frac{\omega}{k} &= \frac{\Delta \omega}{\Delta k} \\ \therefore \ \ C &= C_g \end{align} を得る。