北海道大学 大学院 理学院
物性物理学専攻, 宇宙理学専攻
2021年度 問題V 問1

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1-1.

掃き出し法により、次のように求められる： $$\begin{align} & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ & \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -5 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 & -3 & 1 \end{pmatrix} \\ & \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$$ $$\begin{align} \therefore \ \ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & 4 \\ -3 & 3 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$$

1-2.

与えられた微分方程式の右辺を $0$ とおいた式に $y=e^{\lambda x}$ （ $\lambda$ は $x$ によらない定数） を代入すると $\lambda = \pm \sqrt{3}$ を得るので、 この微分方程式の一般解は、積分定数を $A,B$ として、 $$\begin{align} y = A e^{\sqrt{3} x} + B e^{- \sqrt{3} x} \end{align}$$ である。 また、与えられた微分方程式に $y = C \sin x + D \cos x$ （ $C,D$ は $x$ によらない定数）を代入すると $C=1,D=0$ を得るので $y = \sin x$ が特殊解であることがわかる。 以上より、与えられた微分方程式の一般解は、積分定数を $A,B$ として、 $$\begin{align} y = A e^{\sqrt{3} x} + B e^{- \sqrt{3} x} + \sin x \end{align}$$ であることがわかる。

[参考] 千葉逸人「工学部で学ぶ数学」

1-3.

• 千葉逸人「工学部で学ぶ数学」 例 4.18
• 矢野・石原「複素解析」 4.3.IV
• 後藤・山本・神吉「詳解 物理応用数学 演習」 4 [42]