\begin{align} Z(T,V,N) &= \frac{1}{N!} \left[ \frac{V}{h^3} \left( \int_{-\infty}^\infty \exp \left( - \frac{p^2}{2mkT} \right) dp \right)^3 \right]^N \\ &= \frac{1}{N!} \left[ \frac{V}{h^3} \left( 2 \pi mkT \right)^\frac{3}{2} \right]^N \\ &= \frac{1}{N!} \left[ V \left( \frac{2 \pi mkT}{h^2} \right)^\frac{3}{2} \right]^N \end{align}
\begin{align} F(T,V,N) &= - kT \log Z(T,V,N) \\ &= kT \log N! - NkT \log \left[ V \left( \frac{2 \pi mkT}{h^2} \right)^\frac{3}{2} \right] \\ &\approx NkT \log N - NkT - NkT \log \left[ V \left( \frac{2 \pi mkT}{h^2} \right)^\frac{3}{2} \right] \\ &= - NkT \log \left[ \frac{V}{N} \left( \frac{2 \pi mkT}{h^2} \right)^\frac{3}{2} e \right] \end{align} 最後の式の中で示量的な量は $V,N$ であるから、 $F(T,V,N)$ が示量的な量であることがわかる。
(i) \begin{align} P &= - \frac{\partial F(T,V,N)}{\partial V} \\ &= \frac{NkT}{V} \end{align}
(ii) エントロピーを $S(T,V,N)$ とし、内部エネルギーを $U(T,V,N)$ とすると、 \begin{align} S(T,V,N) &= - \frac{\partial F(T,V,N)}{\partial T} \\ U(T,V,N) &= F(T,V,N) + T S(T,V,N) \\ &= F(T,V,N) - T \frac{\partial F(T,V,N)}{\partial T} \\ &= - T^2 \frac{\partial}{\partial T} \frac{F(T,V,N)}{T} \\ &= \frac{3}{2} NkT \end{align} なので、 \begin{align} C_V &= \frac{\partial U(T,V,N)}{\partial T} \\ &= \frac{3}{2} Nk \end{align} がわかる。
\begin{align} U_\mathrm{int} (T,N) &= N \frac{0 \cdot \exp \left( - \frac{0}{kT} \right) + 3 \varepsilon \exp \left( - \frac{\varepsilon}{kT} \right)} {\exp \left( - \frac{0}{kT} \right) + 3 \exp \left( - \frac{\varepsilon}{kT} \right)} \\ &= \frac{ 3N \varepsilon \exp \left( - \frac{\varepsilon}{kT} \right)} { 1 + 3 \exp \left( - \frac{\varepsilon}{kT} \right)} \\ &= \frac{ 3N \varepsilon }{ \exp \frac{\varepsilon}{kT} + 3} \end{align}
\begin{align} \frac{\partial U_\mathrm{int} (T,N)}{\partial T} &= \frac{ 3N \varepsilon^2 \exp \frac{\varepsilon}{kT} }{ kT^2 \left( \exp \frac{\varepsilon}{kT} + 3 \right)^2 } \end{align} なので、求める定積熱容量は、 \begin{align} \frac{3}{2}Nk + \frac{ 3N \varepsilon^2 \exp \frac{\varepsilon}{kT} }{ kT^2 \left( \exp \frac{\varepsilon}{kT} + 3 \right)^2 } \end{align} である。
\begin{align} Z_\mathrm{int} (T) &= \sum_{j=0}^\infty (2j+1) \exp \left( - \frac{E_j}{kT} \right) \\ &= \sum_{j=0}^\infty (2j+1) \exp \left( - \frac{Bj(j+1)}{kT} \right) \end{align}
\begin{align} Z_\mathrm{int} (T) &= \int_0^\infty d \xi \ (2 \xi + 1) \exp \left( - \frac{B \xi (\xi + 1)}{kT} \right) \\ &= \int_0^\infty d \xi \ (2 \xi + 1) \exp \left( - \frac{B}{kT} (\xi^2+\xi) \right) \\ &= - \frac{kT}{B} \left[ \exp \left( - \frac{B}{kT} (\xi^2+\xi) \right) \right]_0^\infty \\ &= \frac{kT}{B} \end{align}
$Z_\mathrm{int} (T)$ に対応するヘルムホルツの自由エネルギーは \begin{align} F_\mathrm{int} (T, N) &= - NkT \log Z_\mathrm{int} (T) \\ &= - NkT \log \frac{kT}{B} \end{align} であり、内部エネルギーは \begin{align} U_\mathrm{int} (T, N) &= -T^2 \frac{\partial}{\partial T} \frac{F_\mathrm{int}(T,N)}{T} \\ &= NkT \end{align} であり、 \begin{align} \frac{\partial}{\partial T} U_\mathrm{int} (T, N) &= Nk \end{align} であるから、求める定積熱容量は、問 3 を考慮して、 \begin{align} \frac{3}{2} Nk + Nk = \frac{5}{2} Nk \end{align} であることがわかる。