与えられた方程式を $x$ で微分すると \begin{align} 3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} - 4y - 4x \frac{dy}{dx} = 0 \end{align} であり、 $x=2, y=2$ を代入すると \begin{align} \frac{dy}{dx} = -1 \end{align} となる。 よって、求める接線の方程式は \begin{align} y - 2 &= - (x-2) \\ \therefore \ \ x + y - 4 &= 0 \end{align} である。
\begin{align} \int_0^{2 \pi} \sqrt{ \left( \frac{dx(t)}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy(t)}{dt} \right)^2 } dt &= \int_0^{2 \pi} \sqrt{2 - 2 \cos t} dt \\ &= 2 \int_0^{2 \pi} \left| \sin \frac{t}{2} \right| dt \\ &= 2 \int_0^{2 \pi} \sin \frac{t}{2} dt \\ &= 4 \left[ - \cos \frac{t}{2} \right]_0^{2 \pi} \\ &= 8 \end{align}
\begin{align} u &= x e^y + \cos y, \\ v &= x, \\ w &= x + e^y \end{align} とおくと、求めるヤコビ行列は \begin{align} \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} e^y & xe^y - \sin y \\ 1 & 0 \\ 1 & e^y \end{pmatrix} \end{align} である。