与えられた3本のベクトルからなる行列 \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{align} は次のように列基本変形できる： \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \tag{i} \end{align} 最後の表式の3つの列ベクトルは1次独立なので、 与えられた3本のベクトルは1次独立であることがわかる。
与えられた3本のベクトルからなる行列 \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \end{align} は次のように列基本変形できる： \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -4 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \tag{ii} \end{align} 最後の表式の3つの列ベクトルは1次独立なので、 与えられた3本のベクトルは1次独立であることがわかる。
(1), (2) から $V_1, V_2$ はどちらも3次元であり、 (i), (ii) から $V_1 \ne V_2$ がわかるので、 $V_1 + V_2$ は4次元であることがわかる。
(i), (ii) の列ベクトルを使って、 実数 $a,b,c,d,e,f$ について \begin{align} a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \\ -1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = d \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + e \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} + f \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \tag{iii} \end{align} が成り立つとすると、 \begin{align} a=d, b=e, c=f, 2a-b+c=0 \end{align} を得る。 $a,b$ を決めると $c,d,e,f$ が決まるので、 $V_1 \cap V_2$ は2次元であることがわかる。
$a=1,b=0$ とすると、 $c=-2,d=1,e=0,f=-2$ となり、 ベクトル (iii) は \begin{align} u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} となる。 また、 $a=0,b=1$ とすると、 $c=1,d=0,e=1,f=1$ となり、 ベクトル (iii) は \begin{align} v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} となる。 ここで求めた $u,v$ は $V_1 \cap V_2$ の基底である。