$T$ の固有値を $t$ とすると、 \begin{align} 0 &= \det \begin{pmatrix} -t & 1 & 0 \\ 0 & -t & 1 \\ 1 & 0 & -t \end{pmatrix} \\ &= - t^3 + 1 \\ &= -(t-1)(t^2+t+1) \\ \therefore \ \ t &= 1, \frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} \\ &= 1, \omega, \omega^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \left( \omega = \frac{-1 + \sqrt{3} i}{2} \right) \end{align} である。 固有値 $t=1$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $x=y=z$ を得る。 固有値 $t=\omega$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} -\omega & 1 & 0 \\ 0 & -\omega & 1 \\ 1 & 0 & -\omega \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $y = \omega x, z = \omega^2 x$ を得る。 固有値 $t=\omega^2$ に属する固有ベクトルを求めるため \begin{align} \begin{pmatrix} -\omega^2 & 1 & 0 \\ 0 & -\omega^2 & 1 \\ 1 & 0 & -\omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $y = \omega^2 x, z = \omega x$ を得る。 そこで、 \begin{align} U &= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} & \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\ 1 & \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} & \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \end{pmatrix} \end{align} とおくと、これはユニタリ行列であり、 \begin{align} U^{-1} T U &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \omega & 0 \\ 0 & 0 & \omega^2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \end{pmatrix} \end{align} となる。
3次の複素行列 \begin{align} A &= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \end{align} を考えると、 \begin{align} TA &= \begin{pmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{pmatrix} \\ AT &= \begin{pmatrix} a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{pmatrix} \end{align} となるので、 $AT=TA$ のとき \begin{align} a_{11} = a_{22} = a_{33}, a_{12} = a_{23} = a_{31}, a_{13} = a_{21} = a_{32} \end{align} である。 よって、 $T$ と交換可能な任意の行列は適当な複素数 $a,b,c$ を使って \begin{align} \begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{pmatrix} \end{align} と書け、逆に、このように書ける行列は $T$ と交換可能である。 よって、 $T$ と交換可能な3次の複素行列の全体は \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{align} を基底とする3次元複素ベクトル空間をなす。
3次の複素行列 \begin{align} A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{pmatrix} \end{align} を考えると、 \begin{align} SA &= \begin{pmatrix} a & b & c \\ 2c & 2a & 2b \\ 3b & 3c & 3a \end{pmatrix} \\ AS &= \begin{pmatrix} a & 2b & 3c \\ c & 2a & 3b \\ b & 2c & 3a \end{pmatrix} \end{align} となるので、 $AS=SA$ のとき \begin{align} b=c=0 \end{align} である。 よって、 $S$ と交換可能な任意の行列は適当な複素数 $a$ を使って \begin{align} a \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align} と書け、逆に、このように書ける行列は $S$ と交換可能である。 よって、 $T$ および $S$ と交換可能な3次の複素行列の全体は \begin{align} a \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \ \ ( a \text{ は任意の複素数 } ) \end{align} である。