$t = \sin x$ とおくと、 $dt = \cos x dx$ であるから、次のように計算できる： \begin{align} \int \sin^4 x \cos^3 x dx &= \int t^4 \left( 1 - t^2 \right) dt \\ &= \int \left( t^4 - t^6 \right) dt \\ &= \frac{1}{5} t^5 - \frac{1}{7} t^7 + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ &= \frac{1}{5} \sin^5 x - \frac{1}{7} \sin^7 x + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align}
$x = a \tan \theta$ とおくと、 $dx = ad \theta / \cos^2 \theta$ であるから、次のように計算できる： \begin{align} \int \frac{1}{x^2+a^2} dx &= \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\tan^2 \theta + 1} \frac{a d \theta}{\cos^2 \theta} \\ &= \frac{1}{a} \int d \theta \\ &= \frac{\theta}{a} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ &= \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align}
\begin{align} \frac{d}{dx} \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} dx &= \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} , \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n} + \frac{2n-1}{2na^2} \int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} \right) &= \frac{1}{2na^2} \frac{(x^2+a^2)^n - 2x^2 (x^2+a^2)^{n-1}}{(x^2+a^2)^{2n}} + \frac{2n-1}{2na^2} \frac{1}{(x^2+a^2)^n} \\ &= \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} \end{align} であるから、与えられた式が成り立つことがわかる。
\begin{align} \int \frac{1}{(x^2+4)^3} dx &= \frac{x}{16(x^2+4)^2} + \frac{3}{16} \int \frac{1}{(x^2+4)^2} + C_0 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_0 \text{ は任意定数 } ) \\ &= \frac{x}{16(x^2+4)^2} + \frac{3}{16} \frac{x}{8(x^2+4)} + \frac{3}{16} \frac{1}{8} \int \frac{1}{x^2+4} + C_1 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_1 \text{ は任意定数 } ) \\ &= \frac{x}{16(x^2+4)^2} + \frac{3}{16} \frac{x}{8(x^2+4)} + \frac{3}{16} \frac{1}{8} \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C_2 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_2 \text{ は任意定数 } ) \\ &= \frac{x}{16(x^2+4)^2} + \frac{3x}{128(x^2+4)} + \frac{3}{256} \arctan \frac{x}{2} + C_2 \ \ \ \ \ \ \ \ ( C_2 \text{ は任意定数 } ) \end{align}
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