$A$ の固有値は $0,2$ であり、それぞれに属する固有状態は、 \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} , \ \ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \end{align} である。
$a,b \in \mathbb{R}$ で、 $ \langle \psi | \psi \rangle = a^2+b^2 = 1 $ であり、 \begin{align} \langle A \rangle_\psi &= \begin{pmatrix} a & -ib \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ ib \end{pmatrix} \\ &= (a-b)^2 \end{align} であるから、$ \langle A \rangle_\psi = 0 $ となるのは、 \begin{align} a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} \ ; \ \ a = b = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align} の2通りである。
\begin{align} \langle \psi | A^2 | \psi \rangle &= 2 (a-b)^2 \\ \therefore \ \ \sigma(A)_\psi^2 &= 2 (a-b)^2 - (a-b)^4 \\ &= (a-b)^2 \left\{2 - (a-b)^2 \right\} \end{align} であるから、$ \sigma(A)_\psi^2 = 0 $ となるのは、 \begin{align} a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} &\ ; \ \ a = b = - \frac{1}{\sqrt{2}} \ ; \ \ \\ a = \frac{1}{\sqrt{2}}, b = - \frac{1}{\sqrt{2}} &\ ; \ \ a = - \frac{1}{\sqrt{2}}, b = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align} の4通りである。
$x,y,z,w \in \mathbb{C}$ について、 \begin{align} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xz \\ xw \\ yz \\ yw \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 0 \\ id \end{pmatrix} \end{align} とおくと、 $xw=0$ であるから、 $x=0$ または $w=0$ であり、したがって $c=0$ または $d=0$ である。 よって、 $c \neq 0$ かつ $d \neq 0$ ならば、 上式を満たす $x,y,z,w$ は存在しないことがわかる。