\begin{align} \left( \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^2 &= \begin{pmatrix} z & x-iy \\ x+iy & -z \end{pmatrix}^2 \\ &= \begin{pmatrix} x^2+y^2+z^2 & 0 \\ 0 & x^2+y^2+z^2 \end{pmatrix} \\ &= I \end{align} であるから、すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して、 \begin{align} \left( \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^{2n} = I , \ \ \ \ \left( \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^{2n+1} = \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \end{align} が成り立つ。
\begin{align} e^{i t \vec{v} \cdot \vec{\sigma}} &= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left( it \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right)^k \\ &= \left( 1 - \frac{1}{2!} t^2 + \frac{1}{4!} t^4 - \cdots \right) I + i \left( t - \frac{1}{3!} t^3 + \frac{1}{5!} t^5 - \cdots \right) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \\ &= (\cos t) I + (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \end{align}
$ (\vec{v} \cdot \vec{\sigma})^\dagger = \vec{v} \cdot \vec{\sigma} $ であるから、 すべての $ t \in \mathbb{R} $ に対して、 \begin{align} U_t^\dagger &= (\cos t) I - (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \end{align} であり、 \begin{align} U_t U_t^\dagger &= \left\{ (\cos t) I + (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right\} \left\{ (\cos t) I - (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right\} \\ &= I \end{align} であるから、 $U_t$ はユニタリー行列である。
\begin{align} \left| \psi \right\rangle &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \left| \psi_t \right\rangle &= U_t \left| \psi \right\rangle \\ &= \left\{ (\cos t) I + (i \sin t) \vec{v} \cdot \vec{\sigma} \right\} \left| \psi \right\rangle \\ &= \cos t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + i \sin t \begin{pmatrix} z \\ x+iy \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos t + iz \sin t \\ (ix-y) \sin t \end{pmatrix} \end{align} であるから、 \begin{align} \left\langle \psi_t \right| Z \left| \psi_t \right\rangle &= \left\langle \psi_t \right| \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos t + iz \sin t \\ (ix-y) \sin t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos t - iz \sin t & (-ix-y) \sin t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos t + iz \sin t \\ (-ix+y) \sin t \end{pmatrix} \\ &= \cos^2 t + z^2 \sin^2 t - (x^2 + y^2) \sin^2 t \\ &= \cos^2 t + (2z^2-1) \sin^2 t \end{align} である。 また、 $Z^2=I$ であるから、 \begin{align} \left\langle \psi_t \right| Z^2 \left| \psi_t \right\rangle &= \left\langle \psi \right| U_t^\dagger U_t \left| \psi \right\rangle \\ &= \langle \psi | \psi \rangle \\ &= 1 \end{align} である。 よって、 \begin{align} \sigma(Z,t)^2 &= 1 - \left\{ \cos^2 t + (2z^2-1) \sin^2 t \right\}^2 \end{align} を得る。