\begin{align} X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ \ \left( = I \text{ とおく } \right) \end{align} なので、 \begin{align} e^{i \frac{\pi}{4} X} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \left( i \frac{\pi}{4} X \right)^n \\ &= I \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left( \frac{\pi}{4} \right)^{2n} + iX \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \left( \frac{\pi}{4} \right)^{2n+1} \\ &= I \cos \frac{\pi}{4} + iX \sin \frac{\pi}{4} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix} \end{align} である。
\begin{align} \langle X \rangle_\varphi &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= 1 \\ \langle X \rangle_\psi &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} \\ &= 0 \end{align}
題意の状態は、密度行列 \begin{align} \rho_1 &= p | \varphi \rangle \langle \varphi | + (1-p) | \psi \rangle \langle \psi | \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & p-i(1-p) \\ p+i(1-p) & 1 \end{pmatrix} \end{align} で表される混合状態のことだと思われる。 このとき、求める期待値は \begin{align} \mathrm{Tr} \left( X \rho_1 \right) &= \frac{1}{2} \mathrm{Tr} \begin{pmatrix} p+i(1-p) & 1 \\ 1 & p-i(1-p) \end{pmatrix} \\ &= p \end{align} である。
（あるいは、 \begin{align} p \langle X \rangle_\varphi + (1-p) \langle X \rangle_\psi &= p \end{align} によっても求められる。）
\begin{align} | 0 \rangle \otimes | 0 \rangle &= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ | 1 \rangle \otimes | 1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ | \Phi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ X \otimes X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align} なので、 \begin{align} \langle X \otimes X \rangle_\Phi &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= 1 \end{align} である。
\begin{align} | 0,0 \rangle = | 0 \rangle \otimes | 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \ \ | 1,1 \rangle = | 1 \rangle \otimes | 1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} とおくと、題意の状態は、密度行列 \begin{align} \rho_2 &= p | 0,0 \rangle \langle 0,0 | + (1-p) | 1,1 \rangle \langle 1,1 | \\ &= \begin{pmatrix} p & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1-p \end{pmatrix} \end{align} で表される混合状態のことだと思われる。 このとき、求める期待値は \begin{align} \mathrm{Tr} \left( (X \otimes X) \rho_2 \right) &= \mathrm{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & p \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1-p & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ &= 0 \end{align} である。