\begin{align} \det \begin{pmatrix} 1+a & a & -1 \\ a-1 & 0 & a+1 \\ 2a & a & 2a+1 \end{pmatrix} &= -a^3 + a \\ &= - a(a+1)(a-1) \end{align} なので、与えられた連立方程式が自明でない解をもつのは $a=-1,0,1$ のときである。