\begin{align} F (2 \omega) &= \int_{- \infty}^\infty f(s) \exp (-2i \omega s) ds \\ &= \int_{- \infty}^\infty f \left( \frac{t}{2} \right) \exp (-i \omega t) \frac{dt}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ (t=2s) \end{align} なので、 $F(2\omega)$ の逆フーリエ変換は \begin{align} \frac{1}{2} f \left( \frac{t}{2} \right) \end{align} である。
\begin{align} F (\omega-1) &= \int_{- \infty}^\infty f(t) \exp (-i (\omega-1) t) dt \\ &= \int_{- \infty}^\infty f(t) \exp (it) \exp (-i \omega t) dt \end{align} なので、 $F(\omega-1)$ の逆フーリエ変換は \begin{align} f(t) \exp (it) \end{align} である。
\begin{align} F(\omega) &= \int_{-T}^T \sin (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) dt \\ &= - \frac{1}{i \omega} \left[ \sin (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) \right]_{-T}^T + \frac{\omega_0}{i \omega} \int_{-T}^T \cos (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) dt \\ &= - \frac{1}{i \omega} \sin (\omega_0 T) \left( \exp(-i \omega T) + \exp(i \omega T) \right) + \frac{\omega_0}{i \omega} \int_{-T}^T \cos (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) dt \\ &= \frac{2i}{\omega} \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T) + \frac{\omega_0}{\omega^2} \left[ \cos (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) \right]_{-T}^T + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} \int_{-T}^T \sin (\omega_0 t) \exp(-i \omega t) dt \\ &= \frac{2i}{\omega} \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T) + \frac{\omega_0}{\omega^2} \cos (\omega_0 T) \left( \exp(-i \omega T) - \exp(i \omega T) \right) + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} F(\omega) \\ &= \frac{2i}{\omega} \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T) - \frac{2i \omega_0}{\omega^2} \cos (\omega_0 T) \sin (\omega T) + \frac{\omega_0^2}{\omega^2} F(\omega) \\ \therefore \ \ \left( \omega^2 - \omega_0^2 \right) F(\omega) &= 2i \left( \omega \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T) - \omega_0 \cos (\omega_0 T) \sin (\omega T) \right) \end{align} なので、 $\omega \ne \omega_0$ のとき \begin{align} F(\omega) &= \frac{2i}{\omega^2 - \omega_0^2} \left( \omega \sin (\omega_0 T) \cos (\omega T) - \omega_0 \cos (\omega_0 T) \sin (\omega T) \right) \end{align} である。