名古屋大学 大学院 環境学研究科
地球環境科学専攻 地球惑星科学系
2023年度 数学 問題5

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問 1

\begin{align} \int_0^\infty \phi(\tau) d \tau &= \frac{1}{\mu} \int_0^\infty \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) d \tau \\ &= - \left[ \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) \right]_0^\infty \\ &= 1 \end{align}

問 2

\begin{align} \int_0^\infty \tau \phi(\tau) d \tau &= \frac{1}{\mu} \int_0^\infty \tau \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) d \tau \\ &= - \left[ \tau \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) \right]_0^\infty + \int_0^\infty \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) d \tau \\ &= - \mu \left[ \exp \left( - \frac{\tau}{\mu} \right) \right]_0^\infty \\ &= \mu \end{align}

問 3

\begin{align} \frac{1}{2} \int_0^1 \exp \left( - \frac{\tau}{2} \right) d \tau &= - \left[ \exp \left( - \frac{\tau}{2} \right) \right]_0^1 \\ &= - \frac{1}{\sqrt{e}} + 1 \end{align}