部分積分
\begin{align} \int x e^{-ax} dx &= - \frac{1}{a} x e^{-ax} + \frac{1}{a} \int e^{-ax} dx \\ &= - \frac{1}{a} x e^{-ax} - \frac{1}{a^2} e^{-ax} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{align}
\begin{align} \int_0^\infty x e^{-ax} dx &= \left[ - \frac{1}{a} x e^{-ax} - \frac{1}{a^2} e^{-ax} \right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{a^2} \end{align}
\begin{align} f(ax+by) = a f(x) + b f(y) \end{align}
2つの関数 $f(x), g(x)$ が直交するとは、 \begin{align} \int_{- \infty}^\infty f(x) g(x) dx = 0 \end{align} が成り立つことである。
関数の集合 $f_1(x), f_2(x), \cdots$ が直交関数系であるとは、 任意の $f_i(x), f_j(x) \ (i \ne j)$ が直交することである。